Круговой турнир. Игра в Крестики-нолики
Учебник 4 класса начинается сразу с новой темы, посвящен- ной играм. Наше понятие игры охватывает далеко не все игры, в которые играют люди. Иногда понятие игры трактуется очень широко: «Вся наша жизнь – игра», иногда к нему примешивается психология поведения людей. Среди игр, которые изучаются математически и используются в различных математических моделях реальности, занимают важное место игры, в которых присутствует элемент случайности, например, бросается кость. В других играх игрокам неизвестна (или не полностью известна) позиция, создавшаяся в игре (в том числе и начальная позиция). Все эти важные случаи остаются вне нашего рассмотрения. Нас будут интересовать только те игры, в которых позиции игро- ков известны (обоим игрокам) в любой момент игры. Заметим еще, что мы обошли вниманием случай, когда игра не кончается вообще (то есть продолжается до бесконечности). Такое может случиться даже в реальных играх. Например, в шах- матах даже приняты специальные меры против такой ситуации: партия считается закончившейся вничью, если позиция повторилась троекратно. Мы будем заниматься играми двух игроков с полной ин - формацией, для которых характерны следующие особенности:
- в любой момент игры каждому из игроков полностью известна сложившаяся в игре позиция,
- каждая позиция игры зависит только от начальной позиции и ходов игроков,
- количество возможных ходов ограничено, что гарантирует окончание игры в некоторый момент.
К таким играм относятся, например, шашки и шахматы, крестики-нолики и другие игры на бумаге.
Игра в Крестики-нолики
Материал, посвященный играм, являясь интересным и достаточно занимательным для ребят, отнюдь не прост для понимания и усвоения. Поэтому для начала мы хотим погрузить ребят в тему самым естественным путем – мы дадим им возможность поиграть друг с другом (в парах и группах) в знакомую игру – Крестики- нолики. Для успешного проведения состязания в группах мы напоминаем на странице 3 правила проведения кругового турнира и приводим пример заполнения турнирной таблицы. На тот случай, если кто-то из ребят ни разу не играл в Крестики-нолики, на странице 4 приводятся правила этой игры, пока не включающие никакие специальные термины, – такие, какие бы мог сформулировать любой из детей, умеющих играть. Мы надеемся, что игра в Крестики-нолики уже хорошо зна- кома большинству ваших учеников. В этом есть и положительные, и отрицательные стороны: детям знакома ситуация, у них есть интуиция, при этом, однако, они могут сказать: «Ну, это такая простая игра, какая тут информатика!» или: «А я умею в нее играть, тут ничего сложного нет». С такими детьми можно обсудить такую задачу: научить другого человека, а потом даже и компьютер, играть в Крестики-нолики. Это поможет им понять смысл происходящего. Задачи на страницах 4–5 даны, конечно, не для развлечения ребят. В ходе партий учащиеся выясняют (или вспоминают) правила и особенности игры в Крестики-нолики, которые впоследствии пригодятся при решении более сложных задач. Крестики- нолики развивают не только логическое мышление, но и внимание, наблюдательность, поскольку, стремясь к собственной победе, игрок после каждого хода обязан тщательно анализировать сложившуюся на поле ситуацию и мешать выиграть сопернику.
Комментарии к задачам 1–3 Части 1
Задача 1.
Сыграть 5 партий в Крестики-нолики, конечно, не сложно, но необходимо еще правильно записать результаты в таблицу и проследить за очередностью хода. Указание, касающееся очередности хода мы приводим с той целью, чтобы игроки были в равном положении и имели одинаковые шансы поиграть как крестиками, так и ноликами. Хотя формально в данной игре у Крестиков нет преимущества (игру всегда можно свести к ни- чьей), однако, опыт показывает ребятам, что Крестики выигрывают несколько чаще. Во-первых, игрок, сделавший первый ход имеет в этой игре больше свободы для построения стратегии игры. Во-вторых, первый игрок может первым поставить три значка вряд. В условии задачи мы предлагаем один из возможных вари- антов выбора очередности хода (при помощи считалки). Чтобы избежать путаницы в дальнейшем, лучше указывать игроков в верхней строке таблицы по фамилиям или именам, но не по номерам (первый и второй), так как обычно Первым называют игрока, сделавшего первый ход (и мы тоже будем так называть в дальнейшем). Таблицу лучше заполнять постепенно – после каждой партии заносить ее результат в соответствующую строку. Чтобы ребятам было легче отвечать потом на первые три вопроса, можно по ходу помечать в таблице, кто какими значками играл в данной партии. Например, можно в углу пустой клетки игрока, который играл крестиками поставить маленький крестик или пометить очки Первого игрока цветом. После того, как сыграны все 5 партий, учащиеся суммируют очки в каждом столбце. Заканчивается решение задачи ответами на вопросы. Возможно, в ходе ответа на второй вопрос учащиеся заметят, что крестики выигрывали чаще. Ответом на последний вопрос будет фамилия учащегося, набравшего больше очков или слово «ничья», если очков у игроков поровну. Проследите за тем, чтобы по окончании решения задачи у каждого учащегося пары была заполнена своя таб- лица, а не одна на двоих.
Задача 2.
При решении данной задачи ребятам потребуется умение правильно организовать круговой турнир в группе и записать результаты в таблицу. Как и в предыдущей задаче, очередность хода определяется при помощи считалки. В группе из 4 человек, можно одновременно проводить по 2 партии, а затем меняться партнерами. После окончания каждой партии результаты следует сразу заносить в таблицу. Это будет несколько слож- нее, чем в предыдущей задаче, где ребята просто записывали в соответствующей игре строке 2 и 0, 0 и 2, или 1 и 1. Например, если партия между Ивановым и Петровым закончилась выигрышем Иванова, то на пересечении строки «Иванов» и столбца «Петров» надо поставить 2, а на пересечении строки «Петров» и столбца «Иванов» надо поставить 0. Если учащийся перепутает эти клетки, то неправильно подсчитает очки, так как подсчет их идет по строкам. После подсчета очков может оказаться, что два игрока на- брали одинаковое количество очков. Тогда нужно посмотреть на результат игры этих двух игроков – кто выиграл, тот получает бо- лее высокое место. В случае, если они сыграли в ничью, можно либо присвоить им обоим одинаковое место (если времени на уроке осталось мало), либо попросить их сыграть дополнительные партии до первой победы. По окончании заполнения таблицы ребята отвечают на вопросы. Обратите внимание на ответы ребят на первый вопрос. Действительно, кто-то из учащихся может решить, что партий было сыграно 12, поскольку каждый из 4 игроков играл с тремя остальными. Однако это не так, поскольку при подобном способе подсчета каждую партию мы считаем дважды. Если такая проблема возникнет, проще всего попросить учащегося пересчитать партии непосредственно. Например, для начала попросить его выписать и сосчитать партии, в которых участвовал лично он – таких, конечно, будет 3, поскольку он играл с тремя учащимися. Сильным ученикам можно предложить подумать над тем, сколько будет сыграно партий в круговом турнире, где 5, 6, 10 участников. Второй вопрос задачи тоже может вызвать проблемы. Проще всего на него будет отвечать тем ребятам, которые по ходу по- мечали, какими значками они играли в каждой из партий (напри- мер, ставили в углах клеток своей строки крестик или нолик).
Задача 3. Необязательная.
Данная задача отличается от предыдущей лишь одним – правилом определения очередности хо- да. Однако, в отличие от предыдущей задачи, игроки относительно очередности хода находятся в неравном положении. Например, учащийся, фамилия которого идет раньше всех остальных по списку, в течение всего турнира будет играть крестиками, что несколько увеличивает его шансы на победу. Решение этой задачи и предыдущей дает возможность сравнить результаты двух турниров и выяснить, насколько исход поединка зависит от очередности хода, а насколько – от мастерства игроков. Если на уроке есть время, полезно вместе с ребятами поразмышлять над последним вопросом задачи. Игры двух игроков Наступил момент дать более формальное определение иг- рам, которыми мы будем заниматься дальше. Оказывается, все они имеют много общего, у всех таких игр есть правила, которые определяют начальную позицию, ход игры, мешок возможных позиций, заключительную позицию и, наконец, победителя игры (или ничью). На листе определений (с. 6–7) мы сформулировали правила игры в Крестики-нолики, используя новые термины. Пожалуй, наиболее сложным из новых понятий является позиция игры, ведь понятия правила игры, ход, победитель и т. п. ребятам уже знакомы. Понятие позиция игры – очень емкое. Позиция игры – это поле и все ходы, сделанные обоими игроками к данному моменту игры. Каждый ход игрока – это разрешенное правилами игры изменение позиции игры. Правила игры оговаривают все возможные начальные позиции игры, а также все воз- можные заключительные позиции – такие позиции, по достижении которых игра заканчивается. C введением понятия позиция игры у нас также появляется возможность ввести понятие цепочка позиций игры, которое дает ключ к более глубокому, содержательному анализу каждой партии. Кроме того, понятие позиция игры позволит нам существенно расшить круг задач и таким образом подвести детей к выводу общих закономерностей в играх с полной информацией.
Комментарии к задачам 4–8 Части 1
Задача 4 – на понимание нового листа определений.
Решений у этой задачи, конечно, много. Для некоторых детей может показаться непривычным, что им нужно играть одновременно за двоих, сложно будет стремиться к выигрышу и того, и другого. Но этого здесь и не требуется. Для тех, кто быстро решит такую задачу, можно предложить ее усложнение: как может выглядеть цепочка игры, закончившаяся выигрышем Первого, Второго, вничью – подобные задачи появятся в учебнике позднее. Попросите детей ставить вновь появляющийся крестик синим, а нолик – зеленым, как это сделано в начальной части цепочки. Это заставит детей более тщательно переходить к каждой следующей позиции игры и позволит делать меньше ошибок. Кроме того, это позволит детям лучше понять, какой из игроков делает ход в каждой позиции, а значит, поможет им избежать ошибок в дальнейших, более сложных, задачах. На вкладыше мы поместили достаточное количество заготовок полей для всех игр, которые мы рассматриваем. Как и с запасными полями для Робота, с полями для игр ребята могут поступать по своему усмотрению: использовать в задачах как подсобный или запасной материал или играть на этих полях в настоящие игры. Мы хотим научить ребят заканчивать решение любой задачи проверкой, в том числе и задачи на построение цепочки игры. Поэтому в указании мы приводим подсказки – условия, которые должны выполняться для любой правильно составленной цепочки позиций игры в Крестики-нолики. Обратите внимание на то, что- бы все ребята выполнили эту последнюю часть задания. Важно, чтобы уже в этой задаче ребята обратили внимание на то, что по- зиций в цепочке игры всегда на одну больше, чем сделано ходов и подумали, почему. Ответ прост – добавляется начальная позиция – «нулевой ход», но подобные детали ребятам придется иметь в виду в дальнейшем, при решении более сложных задач. Вот один из возможных вариантов цепочки Р:
Задача 5.
Повторение листа определений «Все пути дерева Если у кого-то из ребят возникнут проблемы, то, скорее всего, ученик забыл, что такое путь дерева, либо сбился, выписывая пу- ти. В первом случае можно посоветовать ему обратиться к форзацу учебника, где содержится соответствующая информация, во втором – сопоставить каждый лист с путем, ведущим в него и найти свою ошибку. Как правило, лучше всего с подобными заданиями справляются дети, имеющие определенную систему выписывания путей, например, двигаться по листьям дерева сверху вниз, помечая каждый лист, путь ведущий в который уже выписан. Если вы видите, что кто-то из ребят систематически ошибается в подобных задачах, то, наверняка, у него такой системы нет. В таком случае лучше выработать наиболее удобное для него правило выписывания путей вместе. Очень полезно по окончании решения задачи спросить ребят, как они понимают некоторые слова-пути, содержащиеся в мешке, например, КАДКА, КАЗАН, КАЗАХ. Если все затрудняются с ответом, это хороший повод обратиться к толковому словарю. Кроме повторения алфавитного порядка слов и навыка использования справочной литературы, подобные моменты урока призваны развивать у детей любознательность и увеличивать их словарный запас.
Ответ: КАБАН, КАБИНА, КАБИНЕТ, КАБЛУК, КАДКА, КАДР, КАЗАК, КАЗАН, КАЗАХ, КАЗНА, КАЛАЧ, КАЛИТКА.
Задача 6.
Здесь, в отличие от задачи 4, задан конец игры. Поэтому ребята могут двигаться либо от начала цепочки к концу, либо наоборот. В первом случае необходимо соблюдать правило – ставить только те знаки, которые есть в позиции, предшествующей заключительной (причем крестик, помеченный синим использовать нельзя). Необходимо также следить за соблюдением очередности хода, за тем, чтобы на каждом ходу появлялся толь- ко один значок и затем, чтобы все значки аккуратно переносились с предыдущей позиции на следующую. Если кто-то из ребят решит двигаться от конца цепочки к началу, то он просто будет убирать по одному значку, учитывая очередность хода (конечно не забывая о том, что синий крестик – предпоследний ход игры). В данном случае ответ на вопрос задачи не зависит от того, как достроена цепочка, поэтому на него можно ответить сразу. В этой и последующих подобных задачах мы уже не напоминаем ребятам о том, что необходимые для решения поля можно найти на листе вырезания (оставляем лишь значок – ножницы). Вот один из возможных вариантов цепочки Н:
Задача 7.
Повторение темы «Перед каждой, после каждой». Ребятам, которые совсем не знают, с чего начать можно, как и раньше, порекомендовать поработать с телесными бусинами с листа вырезания. Остальным в случае ошибки достаточно будет указать на невыполнение одного из условий задачи. Возможно, кто-то из ребят забудет о том, что квадратная бусина не может быть последней в цепочке (иначе первое утверждение не будет иметь смысла). С таким учеником придется вспомнить лист определений «Если бусины нет». Итак, в результате решения задачи должна получиться цепочка, в которой 1-ая, 3-ья, 5-ая и 7-ая бусины – квадратные, 2-ая, 4-ая, 6-ая и 8-ая бусины – круглые, а последняя бусина – не квадратная.
Задача 8.
Необязательная. Здесь построение партии должно удовлетворять некоторому условию. Один из подходов здесь состоит в том, чтобы решать задачу с конца (такой подход уже много раз нам помогал в разных ситуациях): посмотреть, какой могла бы быть позиция в конце, а затем идти от этой позиции к начальной. Конечно, в последней позиции нельзя расставлять крестики и нолики как угодно. Какие имеются ограничения? Например, нельзя, чтобы ноликов было больше, чем крестиков, и чтобы их было на два меньше, чем крестиков, или еще меньше. Ясно, что поставленные уже в заданных позициях два крестика и нолик должны сохраниться. Ясно также, что в заключительной позиции не должно быть выигрышной комбинации для одного из игроков – ведь игра должна кончиться вничью. Можно предложить и другой подход к решению такой задачи. Он будет естественным для ребят, которые достаточно много играли в Крестики-нолики вне урока. Идея состоит в том, что если ход делает Первый, то «честно» играть за Первого, а если Второй – то за него. При этом главная задача – помешать выигрышу противника, а уж следующая – собственная победа. Ребята, знакомые с игрой, интуитивно понимают, что ничья получается именно так – когда противники «хорошо мешают друг другу». Отличие нашей задачи от настоящей игры состоит в том, что да- же если ученик случайно пропустит позицию, которая может привести к выигрышу Первого или Второго и не сможет сделать ничью, то он всегда сможет вернуться обратно по цепочке позиций, найти свой ошибочный ход и начать «поправлять» игру с этого места. В настоящей же игре ребята видят свою ошибку только тогда, когда ее уже нельзя поправить – игра закончилась. Необходимо обратить внимание всех ребят, что последним этапом решения является проверка того, нет ли в какой-нибудь позиции выигрышной комбинации для одного из игроков. На самом деле проверять нужно, начиная с шестой позиции, т. к. только в ней впервые появляется третий крестик и, соответственно, впервые может появиться выигрышная тройка крестиков. Итак, при любом подходе ученику нужно сначала спланировать свое решение, нарисовать пробные позиции на черновике (например, на одном из пустых полей на листе вырезания), а затем уже начать вырезать, наклеивать и расставлять крестики и нолики. Как и раньше в подобных задачах, попросите детей, как и в предыдущих задачах об игре в Крестики-нолики, ставить вновь появившийся крестик синим, а нолик – зеленым, как это сделано в начальной части цепочки. Это заставит их более тщательно переходить к каждой следующей позиции игры и позво- лит делать меньше ошибок. Вот один из возможных вариантов цепочки M:
Игра в Ползунок
Эта игра интересна тем, что в ней место числовой интуиции занимает геометрическая. При этом геометрия здесь не обычная, которую учат в школе, а более современная – это, можно сказать, дискретная топология (дискретная – потому, что в ней действие разворачивается в пространстве конечного числа точек, а топология – потому, что для нас несущественно расстояние между этими точками, а существенно только их взаимное расположение – какая с какой является соседней).
Комментарии к задачам 9–16 Части 1
Задача 9.
При решении данной задачи ребятам предстоит освоить правила новый игры – игры в Ползунок. Поэтому, проходя по классу, постарайтесь проконтролировать соблюдение все- ми игроками правил игры, при необходимости возвращайте ребят к листу определений. Возможно, стоит в первых партиях турнира в каждой группе назначить контролера (или двух), которые будут следить за соблюдением правил игры. Другой вариант – сыграть на доске несколько тренировочных партий. Если вам приходилось играть в Ползунок на поле 3×3, то вы, скорее всего, заметили, что Второй выигрывает здесь гораздо чаще, чем Первый. На самом деле Второй в этой игре имеет выигрышную стратегию, то есть, следуя определенным правилам, он может выиграть всегда, как бы ни играл Первый (мы еще будем много говорить о выигрышных стратегиях в дальнейшем, в частности, и в игре в Ползунок на поле 3×3). Если вы хотите, чтобы члены группы были в равном положении, то предложите ребятам перед началом каждой партии кидать жребий, кто будет Первым (с помощью кубиков, спичек, игры «Камень, ножницы, бумага» и проч.). Поскольку в Ползунке ничьих не бывает, турнирную таблицу будет заполнять немного легче, чем для игры в Крестики- нолики, и победителя будет легко определить, даже если у двух игроков наберется одинаковое число очков. Если же число очков будет одинаковым сразу у троих игроков (в группе из 3 человек или у троих из 4), то для определения победителя придется проводить дополнительные партии.
Задача 10.
Здесь от учащихся требуется лишь понимание правил игры в Ползунок. Напомните ребятам, что нужно каждый новый отрезок проводить красным или зеленым карандашом – в зависимости от того, кто делает ход. Как и в аналогичных задачах с игрой в Крестики-нолики, необходимые поля ребята найдут на вкладыше. Очень важно, чтобы решение задачи закончилось проверкой. Указание в конце задачи призвано облегчить ребятам процедуру проверки на первых порах. Главное условие – чтобы последняя позиция в цепочке действительно была заключительной. Для этого на поле должна получиться ломаная, которую уже нельзя продолжить. Также нужно проверить, что при переходе от каждой позиции к следующей добавлялся ровно один отрезок. Наконец, стоит просмотреть всю цепочку, проверяя, соответствует ли очередность хода цвету появившегося отрезка (можно над каждой позицией пометить цифрами I или II кто сделал данный ход) и соответствует ли следующая позиция предыдущей (все отрезки предыдущей позиции должны повториться и на следующей).
Задача 11.
Необязательная. В учебник 4 класса мы включили серию задач, которые традиционно считаются сугубо математическими и используются в работе математических кружков. Начиная курс информатики, мы в числе основных задач ставили развитие интеллектуальной культуры ребят, в том числе логики, мышления, смекалки и проч. Особо мы подчеркивали, что основные логические схемы и способы решения проблемных задач легко переносятся из одной сферы человеческой деятельности в другую. Настало время посмотреть, насколько ребята (по крайней мере сильные ученики) способны применить полученные в курсе знания к задачам, не имеющим прямого отношения к темам листов определений. Все подобные задачи помечены как необязательные и рассчитаны на сильных учащихся, которые быстро справились с основными заданиями. Взявшись решать подобную задачу, ребенок должен некоторое время посидеть над ней самостоятельно – попытаться решить, построить самостоятельный способ рассуждений и т. п. Если все такие попытки оказались тщетными, вы можете помочь наводящим вопросом или обсуждением попытки решения. Если решить не получается – задачу можно оставить (попросить ребенка подумать над ней дома, вернуться к ней позже и т. д.). Такие задачи хорошо подходят, чтобы занять сильных учеников и поддержать их интерес на должном уровне. В комментариях к задачам этого цикла мы обязательно обсудим, какую помощь вы сможете предложить ребятам и какие подсказки сможете использовать. Главная сложность задачи 11 состоит в том, чтобы понять, как меняется количественное соотношение, когда мы берем предметы из одной кучки и перекладываем их в другую (например, один мальчик отдает свои орехи другому). Действительно, при перекладывании мы в одной кучке число предметов уменьшаем (относительно исходного), а в другой – на столько же увеличиваем (относительно исходного). И то, и другое увеличивает разницу между количествами предметов в кучках, поэтому в результате она меняется на число, в 2 раза большее количества перекладываемых предметов. Конечно, мы не рассчитываем, что учащиеся проведут такие рассуждения (да это и не требуется). Если вы видите, что ответ у ученика неправильный, сначала следует добиться от него сознания ошибки. Для этого попросите учащегося проверить результат по условию задачи или проверьте вместе с ним. Можно посоветовать ученику перейти к работе с телесными объектами – взять две равные по числу предметов кучки (можно воспользоваться, например, бусинами с листа вырезания), переложить некоторое число предметов из одной кучки в другую, сравнить результаты. Так следует экспериментировать до тех пор, пока учащийся не осознает процесс, происходящий в задаче.
Ответ: Федя должен отдать Коле 5 орехов.
Задача 12.
Здесь ребятам предстоит построить цепочку позиций игры в Ползунок с заданной заключительной позицией. Как и при решении задачи 6, учащийся может двигаться от начала к концу, следя за тем, чтобы на поле на каждом ходе появлялся только такой отрезок, который есть в заключительной позиции (учитывая и цвет) или от конца к началу, убирая по одному от- резку от одного из концов ломаной. Кроме того, учащийся должен следить за соблюдением очередности хода – чтобы при каждом переходе от одной позиции к другой появлялся отрезок соответствующего цвета. Несмотря на внешнюю однотипность задач 12 и 6, данная задача оказывается существенно сложнее. Это связано со спецификой игры в Ползунок. В отличии от игры в Крестики-нолики, где значки, которые игроки ставят на поле, не должны быть никак связаны между собой, в игре в Ползунок каждый следующий отрезок должен присоединяться к уже нарисованной ломаной. Учитывая, что отрезок должен быть еще и определенного цвета, мы приходим к тому, что в данной задаче в качестве первого хода Первого нельзя брать любой из красных отрезков в заключительной позиции. В противном случае мы сталкиваемся с тем, что цепочку игры в некоторый момент нельзя продолжить и привести к заключительной позиции. Перебирая все возможные первые ходы Первого (красные отрезки в заключительной позиции) и пытаясь строить с каждым из них цепочку игры, мы приходим к выводу, что цепочку V позволяет построить лишь один из них (вертикальный верхний). Далее вплоть до шестой позиции вариантов при выборе следующего хода ни у Второго, ни у Первого нет. Таким образом в данной задаче (в отличии от задачи 6) существуют лишь две подходящие цепочки V (см. ответ). Описанные выше особенности игры в Ползунок объясняют то, что данную задачу проще решать с конца, отбрасывая постепенно отрезки соответствующих цветов, ведь вариантов при выборе отрезка, который можно отбросить, существенно меньше. Здесь мы уже не напоминаем учащемуся в условии о необходимости проверки, но это не значит, что она не нужна. Напри- мер, можно провести парную проверку, попросив ребят поменяться тетрадями. Полезно при этом предварительно спросить ребят, какие ошибки при решении могут быть допущены. Ответ: вот два возможных варианта цепочки V:
Задача 13. Необязательная.
Здесь мы снова (как и в задаче 5) повторяем тему «Все пути дерева», но эта задача имеет несколько дополнительных сложностей. Во-первых, слова-пути включают внутрисловные знаки, следовательно, ребятам необходимо вспомнить, что дефис и апостроф – отдельные символы, требую- щие заключения в отдельные бусины. Во-вторых, дерево Q должно иметь определенное число бусин (23), а общее число знаков в словах мешка гораздо больше, значит при построении дерева, мы обязаны «экономить» бусины. Например, все слова в мешке начинаются либо с буквы К, либо с буквы О, значит в дереве Q мы поставим только две корневые бусины, а не 7 по числу слов в мешке. Теперь рассмотрим слова, начинающиеся с буквы К. Во всех них следующая после буквы К – О, значит в нашем дереве у бусины К будет одна следующая бусина. В словах, начинающихся с О, встречаются две вторые бусины – буква Н и апостроф, значит в дереве у корневой буквы О будет две следующие бусины. Так мы будем стараться уменьшить число бусин в дереве, где это возможно. В конце, конечно, нужно проверить, что в дереве Q действительно 23 бусины.
Ответ: (см. картинку).
Задача 14. Необязательная.
Сложность этой задачи в том, что ребятам необходимо учесть одновременно два условия. С одной стороны, выиграть должен Первый, с другой стороны это должно произойти именно на седьмом ходу, поскольку длина цепочки задана. Хорошо, если ребята уже видят связи между длиной цепочки, числом ходов и выигрышем определенного игрока. Действительно, в цепочке 8 позиций, значит, сделано 7 ходов. Из них – 4 крестика и 3 нолика. Последний ход – конечно, крестик. Как и в некоторых других задачах, здесь можно двигаться как от начала цепочки к концу, так и наоборот. Двигаясь с конца, ребята просто расставляют 4 крестика и 3 нолика в за- ключительной позиции так, чтобы было три крестика в ряд и не было других рядов из трех одинаковых значков (как крестиков, так и ноликов), а затем убирают по одному значку в соответствии с очередностью хода, заботясь, чтобы 3 крестика появились только на последнем ходу. Двигаться от начала здесь несколько сложнее, ведь придется заботиться постоянно, чтобы игра не закончилась раньше (или позже). Сложность подобной ситуации компенсируется лишь тем, что здесь Второй может подыгрывать Первому - поддаваться или просто плохо играть, не замечая своих выгодных ходов. Естественно ребятам, которые хотят во что бы то ни стало построить «честную» партию (в которой оба игрока стремятся выиграть), мешать не надо, но им будет несколько сложней.
Задача 15. Необязательная.
В этой задаче наиболее естественный путь решения – экспериментальный. Надо предложить детям порисовать на черновике (например, на таком же поле с листа вырезания) несколько вариантов игр с заданным началом. Учащиеся, по сути дела, будут пользоваться методом случайного перебора вариантов. В этих попытках иногда игра будет заканчиваться, не дойдя до 11-го хода, иногда одиннадцатый ход будет оказываться не последним – еще останутся возможные ходы. В ходе таких экспериментов у детей возникнет ощущение того, «как все устроено», и требуемый ход игры будет найден. Учителю здесь, как обычно, отводится роль консультанта, проверяющего точность следования правилам игры в Ползунок. Однако вам для того, чтобы быстро проверить решение или подтолкнуть затрудняющегося в решении ученика, помогут некоторые математические (точнее, геометрические) соображения. Понятно, что, если отвлечься от раскрашивания отрезков в красный и зеленый цвета, то задача сводится к тому, чтобы дополнить имеющиеся три звена до ломаной из 11 звеньев, которую нельзя продолжить. Ломаная линия из 11 звеньев проходит через 12 точек. Это значит, что на нашем поле она не пройдет через какие- то 4 точки поля из 16. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы построить ломаную, включающую заданный отрезок из трех звеньев, не проходящую через какие-нибудь 4 точки поля, и такую, что ее нельзя продолжить. Можно сделать это по-разному, например, так:
Такие рассуждения дают нам не только решение, но и подход к более широкому кругу вопросов, возникающих вокруг данной задачи. Например, возможна ли такая партия игры в Ползунок на этом поле (4×4), в которой выигрывает Второй? Да, если мы сможем построить ломаную из четного числа звеньев. Сколько ходов вообще может быть в игре на поле 4×4 – например, может ли быть 20 ходов? Нет, так как точек на поле всего 16 – значит, ломаная может состоять не более чем из 15 звеньев (ходов). Вы можете обсуждать вышеперечисленные вопросы, а можете совсем их не касаться. Однако, приведенные рассуждения могут вам помочь в тот момент, когда у ребенка работа над задачей застопорилась. Если вам хотелось бы не подсказывать ему решение, а лишь навести на мысль о том «как все устроено», то достаточно будет замечаний типа: «Ты захватил в Ползунок слишком много точек поля, поэтому ходов больше, чем требуется. Попробуй оставить в стороне какие-то точки», – или в этом роде, в зависимости от ситуации.
Решений, конечно, в данной задаче достаточно много. Поучительно сравнить решения, полученные разными ребятами и выделить в них общее. Ответ: приводим одну из возможных цепочек игры:
Задача 16.
В этой задаче впервые встречается Робот в лабиринте – на поле Робота теперь есть стены. Лабиринт очень полезен для освоения конструкций построения программ, где ис- пользуются условия (в частности, конструкция «ЕСЛИ-ТО-ИНАЧЕ»), с которыми дети встретятся на уроках информатики в средней школе. В ходе написания программы Р от ребят потребуется понимание того, как стенки ограничивают перемещения Робота. Например, Робот сломается, если из начального положения мы заставим его выполнить команду вправо, так как он не может проходить через стены. Если принять во внимание еще и границы поля, то первая команда программы Р – вниз или влево. Аналогичным образом мы должны и дальше учитывать положение стенок и границ поля при написании программы Р. Возможно, самые хитрые дети запишут в качестве программы Р начальный отрезок про
граммы М, это вполне допустимо. Ответ: (см. картинку).
Игра в Камешки
Игра в Камешки хороша тем, что в ней не так трудно провести полный анализ игры и понять, кто когда выигрывает. Эта игра является основой изучения темы «Выигрышные стратегии» в Части 2 учебника. А пока мы просто знакомим детей с формальными правилами игры.
Комментарии к задачам 17–23 Части 1
Задача 17.
Задача на понимание правил игры в Камешки. Посоветуйте ребятам помечать позиции, получающиеся после хода Первого синим цветом, как это сделано на листе определений. При осознанном решении ребята должны отвечать на вопросы, кто из игроков сделал ход из той или иной позиции и кто выиграл в данной партии.
Задача 18.
В процессе решения данной задачи все учащиеся должны освоить правила игры в Камешки. Для начала можно провести 1–2 партии на доске и попросить ребят написать цепочки для проведенных партий. Заполнять таблицу, как и во всех задачах на проведение турниров в малых группах, лучше всего по ходу игры, то есть заносить в нее результаты по окончании каждой партии. В пустых клетках «шапки» таблицы нужно написать имена или фамилии игроков, но не номера, иначе дети будут путать их с Первым и Вторым. Как видите, в условии задачи определена очередность хода игроков, которая позволяет членам каждой пары одинаковое число раз побыть на месте Первого и на месте Второго. На самом деле Первый в этой игре обладает выигрышной стратегией, это ребятам еще предстоит узнать в дальнейшем. Возможно кто-то из сильных учащихся в ходе игр и особенно ответов на вопросы обратит внимание на то, что Первый выигрывает чаще Второго. Такому ученику можно дать задание подумать, почему так получается и как именно должен играть Первый, чтобы выиграть наверняка (как бы ни играл Второй).
Задача 19.
В отличие от задачи 17, здесь нужно написать не просто цепочку игры, а цепочку, удовлетворяющую определенному условию (выигрышу конкретного игрока). Эту задачу можно решать достаточно формально – сначала написать на листочке любую цепочку игры с разрешенными ходами и заданной начальной позицией. Далее нужно определить победителя в этой игре, а чтобы ребятам сделать это было проще, посоветуйте им помечать результаты ходов Первого своим цветом, как это сделано на листе определений. Если кто-то из ребят нарисовал все бусины цепочки одним цветом, то попросите его расставить над каждой бусиной начиная со второй цифры I или II в зависимости от того, кто из игроков привел игру к этой позиции. Итак, мы нарисовали произвольную цепочку игры, например:
Оказалось, что в данной партии выиграл Второй, значит эту
цепочку следует записать во второе окно. Чтобы получить теперь
цепочку, в которой бы выиграл Первый, достаточно немного «поправить» уже составленную цепочку, сделав в ней на одну бусину
больше или на одну бусину меньше. Оказывается это можно сделать всегда. Действительно, в процессе игры кто-то из игроков
сделает хотя бы один ход в 2 или 3 камешка, либо все ходы будут по одному камешку. В первом случае мы сможем разделить
ход на два (1 и 1 или 1 и 2), во втором – мы сможем сделать из
двух ходов по одному камешку один ход. Например, нашу цепочку можно переделать так:
Задача 21.
По содержанию эта задача наиболее близка к за- даче 15, но в отличие от той является обязательной. Некоторым учащимся, вполне возможно понадобится ваша помощь. Большинство ребят, скорее всего, будут решать методом проб и ошибок – будут строить ломаную Ползунка как-нибудь. Лучше всего сначала делать это на запасных полях с листа вырезания. Соображения, приведенные в задаче 15 о соотношении числа звеньев ломаной (т. е. числа ходов) и точек на поле, через кото- рые прошел Ползунок, позволяют сделать вывод, что в заключительной позиции цепочки W Ползунок должен пройти через все 12 точек поля, а в заключительной позиции F – через 11 точек поля. Хорошо, если сильные ребята постепенно усваивают по- добные закономерности, ну а всем ребятам необходимо понима- ние того, что число сделанных ходов определяет число звеньев ломаной Ползунка. Таким образом, вам, проходя по классу, достаточно будет обратить внимание учащегося на то, что построенная им ломаная не соответствует требуемому числу ходов. Подходящих цепочек, конечно, много. Мы приводим лишь одну цепочку W и одну цепочку F. Ответ:
Задача 22. Необязательная.
Решение данной задачи потребует от детей определенной аккуратности. Тонкость здесь такая (о ней мы говорили раньше и напоминаем сейчас): выражение «следующая бусина после каждой красной бусины – зеленая квадратная» означает, что после каждой красной бусины стоит какая-то бусина, то есть всякая красная бусина не последняя (а значит последняя бусина – не красная). Возможно, кто-то из детей заметит, что «бусины в цепочке повторяются, идут в одном порядке» и т. д. Это действительно так, цепочки наши – периодические. Как это точно сформулировать? Если разговор возникнет, попробуйте придумать, что в точности мы хотим сказать. Одна из точных формулировок состоит в том, что для каждой бусины третья после нее, если она есть, такая же, как и она сама. Если разговор об этом не зайдет, то такое обсуждение, конечно, не обязательно. Ответ:
Задача 23. Необязательная.
Как мы уже обсуждали в пособии для 3 класса, различия между математическими (и информатическими) и лингвистическими задачами достаточно существены. Напомним, что в математических задачах мы все время старались, чтобы все «правила игры» были выписаны явно. Например, чтобы говорить о буквах русского языка, следует их все выписать, чтобы говорить о гласных буквах, их опять-таки надо выписать явно. В лингвистических же задачах часто используются сведения, явно не выписанные, но которые могут быть почерпнуты из других источников или могут представляться очень правдоподобными. Эта разница весьма принципиальна и отличает математику от других наук, обращающихся, как и лингвистика, за информацией к внешнему миру, а не только к правилам математической игры. Как и многие лингвистические задачи, данная задача много- слойна и позволяет провести разнообразную работу в зависимости от уровня детей в классе. Первый уровень, обязательный для всех ребят, которые взялись решать эту задачу – распределить все фразы, ориентируясь на буквы ы и и, то есть выполнить то, что требуется в условии. Из задания следует, что все фразы, где встречается буква и - украинские, а ы - белорусские: бел.: Добры нос фiгу за вярсту чуе.
Купiў бы сяло ды грошай гало. З легендаў i казак былых покаленняў Ты выткана, дзiўвная родная мова. Малы жук, а вялiкi гук. Дарогi, цёмныя дарогi! Хто вас аблiчыць? Хто вас змерыць? Хто вашы звiвы ўсе праверыць? Не пасеяўшы, не пажнеш. укр.: Прийшов, побачив, перемiг. I широкую долину не забуду я. Якби ви вчились так, як треба, То й мудрiсть би була своя. Реве та стогне Днiпр широкий. А ти, всевидящеє око! Не дуже бачиш ти глибоко! По улицi вiтер вiє Та снiг замiтає. Думи мої, думи мої, Лихо менi з вами! Огнi горять, музика грає. Якби з ким сiсти хлiба з’їсти. Про остальные фразы, опираясь на буквы и-ы нельзя сказать, к какому они языку относятся, поэтому в окне рядом с каждой из них пока можно поставить знак вопроса. Однако, если вы чувст- вуете, что ребенок сильный, можно предложить ему продолжение (и усложнение) данной задачи. Обратите внимание такого учащегося на фразу из условия «В украинском и белорусском алфавитах есть и другие буквы, которых нет в русском, но в каждом из этих алфавитов свои (в одном – одни, в другом – другие).» Тогда фразы, которые мы уже отнесли к определенному языку, позво- ляют найти такие буквы – в украинском алфавите это ї и є, а в белорусском - ў. Используя эту новую информацию, мы опреде- ляем: бел.: Што хутарок, то гаварок, што сяльцо, то нараўцо. Добрага здароўя! укр.: Спиває, плаче Ярославна, Як та зозуленька кує. Сонце грiє, вiтер вiє. Таким образом, мы не смогли определить, на каком языке напи- саны лишь три фразы: (бел.): Дома i салома ядома. Можа на двое варожа. (укр.): I чужому научайтесь, Й свого не цурайтесь.
Данная задача позволяет провести интересное знакомство с языком наших соседей. Основываясь на том, что большинство букв в русском, белорусском и украинском языках общие, можно попросить ребят почитать приведенные фразы. Основываясь на схожести слов, можно попробовать перевести их на русский язык или пофантазировать, что они могут означать. Интересно про- следить также, какие аналоги некоторые из приведенных фраз (пословицы и поговорки) имеют в русском языке. Ниже приводим перевод всех фраз на русский язык.
Добры нос фiгу за вярсту чуе. – Хороший нос фигу за версту чует.
Прийшов, побачив, перемiг. – Пришел, увидел, победил.
Купiў бы сяло ды грошай гало. – Купил бы село, да денег нет [букв.: голо].
З легендаў i казак былых покаленняў Ты выткана, дзiўвная родная мова. – Из легенд и сказок былых поколений ты выткана, дивная родная речь.
I широкую долину не забуду я. - И широкую долину не забуду я.
Малы жук, а вялiкi гук. - Мал жук, а шума много [букв.: большой шум].
Дома i салома ядома. – Дома и солома съедобна.
Якби ви вчились так, як треба, То й мудрiсть би була своя. – Если бы вы учились так, как нужно, то и мудрость (у вас) была бы своя.
Дарогi, цёмныя дарогi! Хто вас аблiчыць? Хто вас змерыць? Хто вашы звiвы ўсе праверыць? – Дороги, темные дороги! Кто вас сосчитает? Кто вас измерит? Кто все ваши повороты проверит?
Не пасеяўшы, не пажнеш. – Не посеешь – не пожнешь.
I чужому научайтесь, Й свого не цурайтесь. – И чужому учитесь, и своего не чурайтесь.
Реве та стогне Днiпр широкий. – Ревет и стонет Днепр широкий.
А ти, всевидящеє око! Не дуже бачиш ти глибоко! – А ты, всевидящее око! Не слишком видишь ты глубоко!
По улицi вiтер вiє Та снiг замiтає. – По улице ветер веет, да снег заметает.
Думи мої, думи мої, Лихо менi з вами! – Думы мои думы, тяжело мне с вами!
Огнi горять, музика грає. – Огни горят, играет музыка.
Спиває, плаче Ярославна, Як та зозуленька кує. - Поет и плачет Ярославна, как та кукушечка кукует.
Якби з ким сiсти хлiба з'їсти. – Как бы с кем сесть, хлеба съесть.
Што хутарок, то гаварок, што сяльцо, то нараўцо. - Что хуторок, то говорок, что сельцо, то (собственный) нрав (ср. русск. Что ни город, то норов).
Добрага здароўя! - Доброго здоровья!
Сонце грiє, вiтер вiє. - Солнце греет, ветер веет.
Можа на двое варожа. – «Бабушка надвое сказала» [букв.: «Может» надвое ворожит].
Игры в Города и в Слова
Вы, конечно, обратили внимание на то, что игры в Города и в Слова не совсем подходят под наше определение игр с двумя игроками: во-первых, в эти игры могут играть и больше двух игроков, а, во-вторых, непонятно, как определить заключительную позицию. Действительно, вспомните, как обычно играют в Слова или Города. Очень редко игра заканчивается тем, что кто-то из игроков не может назвать очередного слова. В большинстве случаев игра может продолжаться практически бесконечно, а заканчивается просто потому, что игра наскучила или пора заниматься другими делами. И тогда никто не выясняет, кто же выиграл – игра просто прерывается. С другой стороны, наверняка большинство детей в вашем классе знает правила этих игр и играет в них дома, и жалко было бы это не использовать. Если цепочка игры в Слова (или в Города) уже задана, то последнее слово в ней и будет являться заключительной позицией. К тому же, если цепочка игры уже задана, или задание состоит в том, чтобы просто создать какую-нибудь цепочку игры по правилам, то оказывается неважным, сколько же игроков на самом деле принимало участие в игре. Поэтому мы решили все же дать несколько задач, в которых используются игры в Слова и в Города.
Комментарии к задачам 24–38 Части 1
Задача 24.
Обсудите с детьми, какие трудности у них возникали при решении задачи, проще ли было ее решать, чем просто играть в Слова, или наоборот, сложнее. Полезно спросить ребят, все ли слова, приведенные в цепочке им известны. Например, многие могут не знать, что такое НОКТЮРН или АМФОРА. В этом случае обязательно нужно попросить ребят обратиться к толковому словарю.
Задача 25.
Детям будет не так-то легко придумать цепочку из 14 слов. Стоит с теми, кому это интересно, обсудить, как надо поступать, чтобы цепочка была подлиннее. Возникнут разные мнения: «Города часто кончаются на Д, бывают города, кончающиеся на А, а с такими первыми буквами городов немного». Ну что же, можно начать выписывать все названия городов (и другие топонимы) подряд, кто сколько знает, а затем проанализировать, как из них создать самую длинную цепочку нашей игры. Кроме того, можно использовать эту и подобную ей задачи для общего развития детей – например, как повод для знакомства с географической картой и атласом. Конечно, искать города на карте или в алфавитном указателе атласа проще, чем просто вспоминать. Но можно и усложнить задание – каждый ряд будет искать города в своей части света или на своем материке. Если вы проводите урок или классный час по краеведению, возьмите карту своей области. Ведь игра в Города должна не только развивать память, но и помогать учащимся приобретать новые знания.
Заметки о топонимике
Географические названия иначе называются топонимами («мест имена»), совокупность топонимов – топонимией. По типу географического объекта топонимы разделяются на оронимы (именования рельефа), гидронимы (имена водных объектов), хоронимы (имена тер- риторий), ойконимы (названия населенных пунктов), урбанонимы (названия частей населенных пунктов – кварталов, улиц, отдельных зданий; иногда этот же термин используется вместо слова ойконим) и др. Ойконимы, а тем более урбанонимы появились лишь в неолите, да и то не сразу, а остальные – еще раньше, вместе с человеческим языком, то есть никак не меньше, чем 300 тыс. лет назад. Нам известны топонимы лишь со времени появления письменности, причем некоторые топонимы сохраняются уже на протяжении четырех и более тысячелетий. Возраст многих топонимов определить невозможно (таких, например, как Волга), возраст других вполне понятен, независимо от времени их фиксации в письменных источниках. Так, названия рек Дон, Днепр, Днестр, содержащих элемент дон/дн, который означает «река» в ряде древних иранских языков (и в современном осетинском), восходят к скифам или сарматам (они были иранцами по языку) – то есть имеют возраст порядка двух тысяч лет или больше. Географические объекты получают имена тогда, когда появляются, становятся известны или осознаются как таковые. Поэтому 15 тыс. лет назад ничто и никак не могло называться в Новом Свете, названия океанов в принципе не могли существовать тысячу лет назад, реки Енисей и Амазонка в те времена как-то назывались (причем наверняка в разных местах по-разному), но их общепринятых, «мировых» названий быть не могло. До 1819 г. никто никак не мог называть географические объекты в Антарктике, до 1913 г. не был известен архипелаг Земля Николая II, который в 1918 г. этого названия формально лишился, но нового (Северная Земля) не имел до 1926 г.
Географические названия со временем могут меняться фонетически, переосмысливаться в духе народной этимологии, но часто при этом преемственность остается заметной. Скажем, Царское Село в XVIII веке называлось Сарским (от финского saari, 'остров'), а город Царицын назван по местному тюркскому топониму S a r y y ‰ i n, где первая часть означает 'желтый'. При всей внешней прозрачности зна- чения эти топонимы к царям отношения не имели и оставались один финским, а другой тюркским. Пока Царское село не стало называть- ся Детским Селом, а Царицын Сталинградом. В СССР некоторые административные замены топонимов носили «челночный» характер – случай, кажется, не имеющий в мире преце- дентов, например: Луганск – Ворошиловград (1935) – Луганск (1958) – Ворошиловград (1970) – Луганск (1990); Рыбинск – Щер-баков (1946) – Рыбинск (1957) – Андропов (1984) – Рыбинск (1989). Топонимы можно классифицировать также по понятности, но понятность может быть мнимая. Так, деревня Ленино (сейчас Истринского района Московской области) называлась так еще до рождения В. И. Ульянова, г. Пропойск (с 1945 – Славгород) не имеет отношения к пьянству: он был когда-то Пропошеском и назван по реке. А в Брянске, например, нет ничего загадочного, поскольку вырос он в лесных дебрях и некогда именовался Дьбьрянскъ. И уж конечно, «смешные» иностранные топонимы типа индонезийского города Таракан не имеют ничего общего с их случайными русскими фонетическими аналогиями.
Задача 26.
Данная задача на установление соотношений между одномерными и двумерной таблицей для одного мешка. В третьем классе ребятам уже приходилось встречаться с задачами, где требовалось заполнить для одного мешка и одномерные, и двумерную таблицу. Тогда мы советовали вам обратить внимание ребят на совпадение сумм по столбцам (или по строкам) двумерной таблицы с соответствующими числами одномерной таблицы и использовать полученную закономерность в ходе проверки. Впрочем,тогда без этого можно было обойтись. Здесь же для решения необходимо понимание характера связи чисел в разных таблицах. Например, учащиеся должны понимать, что общее число красных фруктов в двумерной таблице (сумма чисел второй строки) равняется числу в первом столбце первой одномерной таблицы (10). Исходя из этого можно заполнить пустую клетку во второй строке двумерной таблицы. Аналогично можно заполнить пустую клетку в последнем столбце двумерной таблицы, используя число слив содержащееся во второй одномерной таблице. Так мы продолжаем рассуждать до тех пор, пока вся двумерная таблица не будет заполнена. После этого можно будет заполнить пустую клетку в одномерной таблице. Ответ:
Этим Второй одновременно мешает Первому получить три крестика на диагонали и создает позицию, приводящую к собственной победе вне зависимости от следующего хода Первого. Действительно, в сложившейся позиции Второй может получить три нолика либо на верхней горизонтали, либо на правой вертикали, а Первый при этом следующим ходом может помешать ему получить только одну из этих троек. Итак, если Второй играет «по- настоящему», то он наверняка сделает этот выигрышный ход, и мы достроим цепочку В (ведь именно игра с цепочкой В должна закончится выигрышем Второго!), например, так:
Задача 28.
Конечно задача эта совсем простая, но она дает ребятам представление о том, что в некоторых партиях игры в Камешки у игрока просто нет выбора. Иногда это касается только одного игрока, то есть он проигрывает при любых своих ходах. Гораздо реже такая ситуация касается обоих игроков и партия предопределена с самого начала, как в данной задаче. Чтобы все учащиеся заметили это, в задаче приведено последнее задание, в котором мы просим ребят подумать, существует ли хотя бы одна другая цепочка игры по тем же правилам (конечно, такой цепочки не существует).
Задача 29.
Необязательная. Данная задача - первая из новой серии задач на разрезание. Задачи на разрезание органично вписываются в наш курс по нескольким причинам. Во-первых, они перекликаются с задачами про Робота, в которых нам приходится вписывать заданную фигуру из клеток в поле определенной формы. Во-вторых, в ходе решения задач на разрезание мы на более высоком уровне повторяем тему «Одинаковые фигурки». В-третьих, такие задачи позволяют проиллюстрировать методы решения, с которыми дети уже познакомились в ходе изучения нашего курса - метод проб и ошибок и метод перебора.
Большинство ребят, скорее всего, начнут решать методом проб и ошибок, разрезая фигуру на две части как-нибудь. В ходе таких проб у учащихся могут сформироваться соображения, которые позволят избежать лишней работы. Самое простое такое соображение - посчитать число клеток в исходной фигуре и определить, сколько клеток должна содержать каждая из частей (получаем 6 клеток). Таким образом, одно из возможных решений состоит в том, чтобы отрезать от исходной фигуры, различные части по 6 клеток и сравнивать их с оставшейся частью. Другое, менее очевидное соображение состоит в том, что крайняя правая клетка и соседняя с ней слева должны обязательно принадлежать к одной из частей (в противном случае одна из частей будет состоять из одной клетки). Пробуя присоединять к этим двум клеткам еще 4 из числа соседних, можно организовать разумный перебор вариантов и найти правильный ответ (см. рисунок). Указание вырезать с листа вырезания такую же фигуру и разрезать ее на две одинаковые части служит проверкой. Действительно, после того, как учащийся это сделает, он может легко убедиться в правильности своего решения (или наоборот), для этого достаточно наложить одну часть на другую. При правильном решении части должны совпасть. В ходе решения этой задачи наглядно обнаруживается, что симметричные фигуры (симметричные относительно прямой) тоже являются одинаковыми. Этот вид одинаковых фигур был представлен на листе определений во втором классе, но явно мы им с тех пор не пользовались – просто не было необходимости. Действительно, сравнивая две фигурки раньше, мы имели в основном в виду форму и цвет. Ребята оценивали одинаковость фигурок, проглядывая и сопоставляя их, то есть как бы мысленно двигая их по листу, но не переворачивая их. В наших задачах на разрезание понятие одинаковости идентично тому, что принято в геометрии, где фигуры считаются одинаковыми в том случае, если они при наложении сов- падают. При этом в качестве наложения может использоваться не только параллельный перенос (движение фигуры по плоскости), но и поворот, а также симметрия относительно прямой (отражение, которое ребенок может осуществить, вырезав фигуру из листа и перевернув ее лицом вниз).
Задача 30.
Если никто не решит эту задачу быстро, можно заняться увлекательным делом - объединением частичных решений, полученных разными детьми. Можно начать выписывать слова, которые начинаются и кончаются на букву К, на доске, или на пленке проектора, или на компьютерном экране, проектируемом на большой экран. Тогда дети смогут добавлять свои слова к решению, пока всем классом не удастся найти по крайней мере 6 таких слов.
Можно поступить и так. Начав с того учащегося, который нашел меньше всего слов, и выписав его слова первыми, двигаться далее в сторону увеличения количества слов. Если надо, можно оставить задачу на дом. Для удобства мы приводим здесь список подходящих слов из орфографического словаря.
придется. Один из вариантов решения - игровой: поиграть с со-
седом в подобную игру и экспериментальным путем составить
партии. Этот вариант также хорош для тех ребят, которые любят
составлять «честные» партии, в которых игроки не поддаются
друг другу.
Другой вариант решения - метод перебора. Лучше всего на-
чать такой перебор по первому ходу Первого и закончить его как
только найдутся две подходящие партии. Проще исследовать
партии, где Первый берет сразу несколько камешков, например,
четыре. Тогда на втором ходу выигрывает Второй и получившу-
юся партию можно записать во второе окно. Если Первый берет
на первом ходе 3 камешка, то дальше игра также идет без вари-
антов и выигрывает Первый.
Задача 32. Здесь ребята вспоминают особенности работы с
конструкцией повторения. Если кто-то запутался, посоветуйте
ему отмечать, сколько раз выполнены внутренние команды каж-
дой конструкции повторения, ставя пометку около соответствую-
щей конструкции каждый раз доходя до слова КОНЕЦ. Также
можно попросить ребят в этой задаче ставить пометку на поле
после выполнения каждой конструкции повторения. Тогда в слу-
чае ошибки вы сможете понять, при выполнении какой части
программы она допущена. При пра-
вильном решении положение Робота
на поле после выполнения програм-
мы совпадает с положением в начальной позиции.
Ответ: вот позиция после выполнения программы Ю (см. картинку).
Задача 33.
Здесь при построении каждой цепочки требуется соблюдение двух условий: Ползунок должен проходить через заданный отрезок и выиграть должен определенный игрок. Первое условие соблюсти достаточно легко - надо просто пристраивать ходы к заданному отрезку. Что касается второго условия, здесь могут помочь некоторые соображения, касающиеся связи между выигрышем определенного игрока и четностью-нечетностью числа звеньев Ползунка. Ясно, что если число звеньев Ползунка четное, то выигрывает Второй, если нечетное - Первый. Кроме того, число звеньев Ползунка связано с числом точек на поле, че- рез которое он прошел: Ползунок из нечетного числа звеньев проходит через четное число точек и наоборот. Таким образом, чтобы выиграл Второй нужно, чтобы Ползунок прошел через все 9 точек поля, а чтобы победу одержал Первый - через 8 или 6 (других вариантов на данном поле не может быть). Если кто-то из ребят будет строить Ползунок наугад и запутается, натолкните его на подобные соображения. Ниже мы приводим два примера цепочки К и один пример Л.
Задача 34. Необязательная.
Скорее всего, дети воспользу- ются методом проб и ошибок или методом перебора. Проще все- го узнать первую команду в первой конструкции повторения, ведь вправо - единственная команда, которую может выполнить Робот из начального положения, не выходя за пределы закра- шенной фигуры. Вторую команду можно выяснить перебором. Действительно, команду вниз Робот выполнить не может (тогда он выйдет за пределы поля), вправо - может, но тогда Робот не повторит команды внутреннего цикла даже дважды. Остаются две возможные команды - влево и вверх, которые надо рассмотреть подробнее. Выбрав команду вверх, мы подбираем число повторений - здесь возможны два варианта - 2 и 3. Сравнивая на каждом этапе результат выполнения конструкции с клетками, закрашенными в задании, дети постепенно находят правильный ответ. Закончить решение задачи, конечно, необходимо проверкой - выполнением написанной программы на соответствующем поле (можно использовать поля с листа вырезания).
Задача 35. Необязательная.
Для решения этой задачи главное – это представить себе процесс распиливания и, по возможности, перевести его в математическую модель. Главная идея здесь в том, что, распилив одно бревно на несколько частей, мы всегда получаем поленьев на одно больше, чем сделали распилов (например, сделав 1 распил, мы получаем 2 полена). Теперь ясно: чем больше мы возьмем бревен, тем меньше распилов нам понадобится, чтобы получить заданное число поленьев. Например, если мы хотим иметь 20 поленьев, то, взяв одно бревно, необхо- димо сделать 19 распилов, а взяв 10 бревен, лишь 10 распилов. (В этой задаче мы не принимаем во внимание, что поленья обыч- но отпиливают определенной длины, например, для печного отопления. Здесь нам важно лишь число получившихся кусков. В этом смысле для нас бревно и полено ничем не отличаются.) По- этому, чтобы сделать 52 распила и получить 72 полена, надо взять 20 бревен. Идея эта хоть и проста, но не все ребята сразу до нее догадаются. Помогите им представить процесс распили- вания. Можно посоветовать им рисовать на листочке бревна и рассекать их линиями, считая число получившихся кусков. Начать надо, конечно, с одного бревна и постепенно увеличивать их число до тех пор, пока ребенок не поймет закономерность. Ответ: Было 20 бревен.
Задача 36.
Здесь ребята продолжают играть в Города. Воз- можно, им стоит напомнить, что в этой игре в качестве хода допустим любой топоним (не обязательно город). Можно не говорить об этом прямо, а просто спросить ребят перед началом решения, какие географические объекты обозначают данные в задаче слова. Эта и подобные задачи являются хорошим поводом, чтобы обратиться к карте, например, найти на ней все встречающиеся в задаче объекты. Может быть, вы посчитаете полезным для ребят найти на карте и топонимы для заполнения окон или посоветуете учащимся обращаться к карте лишь в случае затруднений. Ребятам, которые мало играли в Города, может быть, придется напомнить, что если предыдущее слово заканчивается на Й, то следующее может начинаться на И или Й, а если - на Ь, то следующее слово должно начинаться на предыдущую перед Ь букву.
Задача 37. Необязательная.
Данная задача гораздо сложнее предыдущей подобной задачи 23. Во-первых, названия городов нужно теперь распределить не по двум, а по трем языкам. Во- вторых, необходимо использовать не только условие задачи, но и привлечь информацию, полученную при решении задачи 23, а также знания о русском языке, полученные в начальной школе. Прежде всего необходимо понять, что нам дает фраза из условия о том, что буква о в белорусских словах пишется только под ударением (ведь ударение в данных названиях не указано). Оказывается, из этого следует, что в белорусском языке не бывает слов с несколькими буквами о! Итак, названия с двумя и более буквами о – не белорусские. Из них все кроме одного - Соловьёво содержат i, значит, названия Верхньоднiпровськ, Днiпропетровськ, Нiкополь, Свiтловодськ - украинские, а название Соловьёво - русское, так как содержит ё, которой в украин- ских словах не бывает. Названия Быхаў и Магiлёў - точно не украинские, так как со- держат соответственно буквы ы и ё, которых нет в украинском алфавите. Кроме того, эти названия – не русские, т. к. содержат нерусскую букву ў. Значит, это белорусские названия. Может быть, кто-то из детей, вдумчиво поработавших с задачей 23, сразу вспомнит, что буква ў – белорусская и сразу отнесет эти слова к белорусскому языку. Также белорусским является название Палыковiчы, поскольку оно содержит ы и i одновременно. Названия Рэчыца и Стрэшын - белорусские, поскольку содержат ы, которой нет в украинском алфавите и не могут быть русскими, так как в них нарушен общеизвестный запрет на написание ы после ш и ч. Верхнеднепровский - явно не белорусское слово (из-за и), по составу букв оно может показаться и украинским, но от него разительно отличается по написанию украинское Верхнь - однiпровськ. Значит, это слово русское. Вот как расположены эти населенные пункты по течению Днепра: Россия: Верхнеднепровский, Соловьёво; Белоруссия: Палыковiчы, Магiлёў, Быхаў, Стрэшын, Рэчыца; Украина: Свiтловодськ, Верхньоднiпровськ, Днiпропетровськ, Нiкополь. Ответ: Украинские названия: Верхньоднiпровськ, Днiпропет - ровськ, Нiкополь, Свiтловодськ. Белорусские названия: Быхаў, Магiлёў, Палыковiчы, Рэчыца, Стрэшын. Русские названия: Соловьёво, Верхнеднепровский.
Задача 38. Необязательная.
Наверняка самый первый ответ, который придет в голову ребятам - 12 яиц, но он неверный. Наиболее простой способ показать это учащимся - спросить, сколько яиц снесут 12 куриц за 3 дня (или 3 курицы за 12 дней). Постепенно ребенок начнет понимать, что число яиц увеличивается в 4 раза за счет увеличения числа дней и еще в 4 раза за счет увеличения числа куриц.
Ответ: 48 яиц.
Контрольная работа № 1.
Ответы и решения Задачи контрольной работы мы поместили на вкладыше. Вы можете вынуть эти листы из учебников заранее, с самого начала работы, чтобы не искушать детей решать задачи заранее. Для этого же мы сняли с этих страниц название «Контрольная рабо- та», остались только номера вариантов. При этом первое число в номере варианта - это номер контрольной работы (их всего 4 в этом году), в второе число - номер варианта. Страницы расположены так, что каждый вариант помещен на двух сторонах одного листа. Итак, для проведения контрольной работы № 1 вам понадобятся варианты 1-1 и 1-2.
Цель этой контрольной работы – проверить, насколько дети освоились с правилами игр в Крестики-нолики, Ползунок, Камешки, Слова. Также мы проверяем умение детей работать с новой лексикой, например, такими терминами, как партия, заключительная позиция, цепочка партии и пр.
Необязательная задача 6 – на повторение: использование конструкции повторения в ра- боте с Роботом.
Задача 1. Для каждой части данной задачи подходящих позиций довольно много. Задания следует считать правильно выполненными, если соблюдены следующие условия. Выиграл Первый: на поле должен быть ряд из трех крестиков, не должно быть ряда из трех ноликов, крестиков на поле должно быть на один больше, чем ноликов. Выиграл Второй: на поле должен быть ряд из трех ноликов, не должно быть ряда из трех крестиков, ноликов должно быть ровно столько же, сколько и крестиков. Ничья: все клетки поля должны быть заняты значками, среди которых должно быть ровно 5 крестиков и 4 нолика. При этом на поле не должно быть ряда ни из трех крестиков, ни из трех ноликов. При проверке решения не оценивается, насколько игра с такой заключительной позицией «правдоподобна», то есть, насколько игроки играли честно и не поддавались.
Задача 2. Здесь мы проверяем умение ребят заполнять таб- лицу кругового турнира. Обратите внимание, в обоих вариантах встречается ситуация, когда у двух игроков одинаковое число очков и более высокое место должен занять тот из них, кто побе- дил в партии, которую они играли друг с другом. Ответ: Вариант 1-1:
Задача 3.
Конечно, эта задача имеет несколько решений. Ре- шение следует считать верным при соблюдении следующих условий. На поле построена ломаная из 9 звеньев (проходит через 10 точек), то есть на поле остались две точки, через которые Ползунок не проходит. При этом ни одну из оставшихся точек нельзя соединить ни с одним концом Ползунка разрешенным образом. Кроме того, ломаная должна включать в себя ровно 5 синих отрезков и 4 зеленых.
Задача 4.
Также как и в задачах 1 и 3, правильных ответов здесь довольно много, однако в данной задаче надо нарисовать не заключительную позицию партии, а всю цепочку партии цели- ком. Правильно выполненное задание - цепочка игры из 5 (6 во втором варианте) позиций, первая из которых - 10 камешков, последняя - 0 камешков. При этом две соседние позиции различаются на 1, 2 или 3. Решая задачи из учебника, ребята обычно помечали позиции, появляющиеся в результате ходов Первого и в результате ходов Второго разными цветами. В таком случае вы всегда могли проверить, понимает ли учащийся, кто делает ход в некоторой пози- ции и кто выигрывает в данной партии. Если вы считаете важным проверить это и в контрольной работе, то попросите ребят помечать позиции, сделанные разными игроками разными цветами. Также как и в задаче 1, здесь не оценивается «честность» или разумность данной партии, то есть, насколько соперники умело играют и не поддаются друг другу. Например, следующая цепочка считается верным решением для варианта 1-2, хотя в реальной игре Второй, скорее всего, возьмет последние два камешка (вместо того, чтобы брать один) и выиграет.
Задача 5.
Не смотря на вариативность игры в Слова вообще, при использовании только слов из мешка, для построения це- почки длины 6 слов в этой задаче в каждом из вариантов имеется
Продолжение 2-4 четверти
Учебник 4 класса начинается сразу с новой темы, посвящен- ной играм. Наше понятие игры охватывает далеко не все игры, в которые играют люди. Иногда понятие игры трактуется очень широко: «Вся наша жизнь – игра», иногда к нему примешивается психология поведения людей. Среди игр, которые изучаются математически и используются в различных математических моделях реальности, занимают важное место игры, в которых присутствует элемент случайности, например, бросается кость. В других играх игрокам неизвестна (или не полностью известна) позиция, создавшаяся в игре (в том числе и начальная позиция). Все эти важные случаи остаются вне нашего рассмотрения. Нас будут интересовать только те игры, в которых позиции игро- ков известны (обоим игрокам) в любой момент игры. Заметим еще, что мы обошли вниманием случай, когда игра не кончается вообще (то есть продолжается до бесконечности). Такое может случиться даже в реальных играх. Например, в шах- матах даже приняты специальные меры против такой ситуации: партия считается закончившейся вничью, если позиция повторилась троекратно. Мы будем заниматься играми двух игроков с полной ин - формацией, для которых характерны следующие особенности:
- в любой момент игры каждому из игроков полностью известна сложившаяся в игре позиция,
- каждая позиция игры зависит только от начальной позиции и ходов игроков,
- количество возможных ходов ограничено, что гарантирует окончание игры в некоторый момент.
К таким играм относятся, например, шашки и шахматы, крестики-нолики и другие игры на бумаге.
Игра в Крестики-нолики
Материал, посвященный играм, являясь интересным и достаточно занимательным для ребят, отнюдь не прост для понимания и усвоения. Поэтому для начала мы хотим погрузить ребят в тему самым естественным путем – мы дадим им возможность поиграть друг с другом (в парах и группах) в знакомую игру – Крестики- нолики. Для успешного проведения состязания в группах мы напоминаем на странице 3 правила проведения кругового турнира и приводим пример заполнения турнирной таблицы. На тот случай, если кто-то из ребят ни разу не играл в Крестики-нолики, на странице 4 приводятся правила этой игры, пока не включающие никакие специальные термины, – такие, какие бы мог сформулировать любой из детей, умеющих играть. Мы надеемся, что игра в Крестики-нолики уже хорошо зна- кома большинству ваших учеников. В этом есть и положительные, и отрицательные стороны: детям знакома ситуация, у них есть интуиция, при этом, однако, они могут сказать: «Ну, это такая простая игра, какая тут информатика!» или: «А я умею в нее играть, тут ничего сложного нет». С такими детьми можно обсудить такую задачу: научить другого человека, а потом даже и компьютер, играть в Крестики-нолики. Это поможет им понять смысл происходящего. Задачи на страницах 4–5 даны, конечно, не для развлечения ребят. В ходе партий учащиеся выясняют (или вспоминают) правила и особенности игры в Крестики-нолики, которые впоследствии пригодятся при решении более сложных задач. Крестики- нолики развивают не только логическое мышление, но и внимание, наблюдательность, поскольку, стремясь к собственной победе, игрок после каждого хода обязан тщательно анализировать сложившуюся на поле ситуацию и мешать выиграть сопернику.
Комментарии к задачам 1–3 Части 1
Задача 1.
Сыграть 5 партий в Крестики-нолики, конечно, не сложно, но необходимо еще правильно записать результаты в таблицу и проследить за очередностью хода. Указание, касающееся очередности хода мы приводим с той целью, чтобы игроки были в равном положении и имели одинаковые шансы поиграть как крестиками, так и ноликами. Хотя формально в данной игре у Крестиков нет преимущества (игру всегда можно свести к ни- чьей), однако, опыт показывает ребятам, что Крестики выигрывают несколько чаще. Во-первых, игрок, сделавший первый ход имеет в этой игре больше свободы для построения стратегии игры. Во-вторых, первый игрок может первым поставить три значка вряд. В условии задачи мы предлагаем один из возможных вари- антов выбора очередности хода (при помощи считалки). Чтобы избежать путаницы в дальнейшем, лучше указывать игроков в верхней строке таблицы по фамилиям или именам, но не по номерам (первый и второй), так как обычно Первым называют игрока, сделавшего первый ход (и мы тоже будем так называть в дальнейшем). Таблицу лучше заполнять постепенно – после каждой партии заносить ее результат в соответствующую строку. Чтобы ребятам было легче отвечать потом на первые три вопроса, можно по ходу помечать в таблице, кто какими значками играл в данной партии. Например, можно в углу пустой клетки игрока, который играл крестиками поставить маленький крестик или пометить очки Первого игрока цветом. После того, как сыграны все 5 партий, учащиеся суммируют очки в каждом столбце. Заканчивается решение задачи ответами на вопросы. Возможно, в ходе ответа на второй вопрос учащиеся заметят, что крестики выигрывали чаще. Ответом на последний вопрос будет фамилия учащегося, набравшего больше очков или слово «ничья», если очков у игроков поровну. Проследите за тем, чтобы по окончании решения задачи у каждого учащегося пары была заполнена своя таб- лица, а не одна на двоих.
Задача 2.
При решении данной задачи ребятам потребуется умение правильно организовать круговой турнир в группе и записать результаты в таблицу. Как и в предыдущей задаче, очередность хода определяется при помощи считалки. В группе из 4 человек, можно одновременно проводить по 2 партии, а затем меняться партнерами. После окончания каждой партии результаты следует сразу заносить в таблицу. Это будет несколько слож- нее, чем в предыдущей задаче, где ребята просто записывали в соответствующей игре строке 2 и 0, 0 и 2, или 1 и 1. Например, если партия между Ивановым и Петровым закончилась выигрышем Иванова, то на пересечении строки «Иванов» и столбца «Петров» надо поставить 2, а на пересечении строки «Петров» и столбца «Иванов» надо поставить 0. Если учащийся перепутает эти клетки, то неправильно подсчитает очки, так как подсчет их идет по строкам. После подсчета очков может оказаться, что два игрока на- брали одинаковое количество очков. Тогда нужно посмотреть на результат игры этих двух игроков – кто выиграл, тот получает бо- лее высокое место. В случае, если они сыграли в ничью, можно либо присвоить им обоим одинаковое место (если времени на уроке осталось мало), либо попросить их сыграть дополнительные партии до первой победы. По окончании заполнения таблицы ребята отвечают на вопросы. Обратите внимание на ответы ребят на первый вопрос. Действительно, кто-то из учащихся может решить, что партий было сыграно 12, поскольку каждый из 4 игроков играл с тремя остальными. Однако это не так, поскольку при подобном способе подсчета каждую партию мы считаем дважды. Если такая проблема возникнет, проще всего попросить учащегося пересчитать партии непосредственно. Например, для начала попросить его выписать и сосчитать партии, в которых участвовал лично он – таких, конечно, будет 3, поскольку он играл с тремя учащимися. Сильным ученикам можно предложить подумать над тем, сколько будет сыграно партий в круговом турнире, где 5, 6, 10 участников. Второй вопрос задачи тоже может вызвать проблемы. Проще всего на него будет отвечать тем ребятам, которые по ходу по- мечали, какими значками они играли в каждой из партий (напри- мер, ставили в углах клеток своей строки крестик или нолик).
Задача 3. Необязательная.
Данная задача отличается от предыдущей лишь одним – правилом определения очередности хо- да. Однако, в отличие от предыдущей задачи, игроки относительно очередности хода находятся в неравном положении. Например, учащийся, фамилия которого идет раньше всех остальных по списку, в течение всего турнира будет играть крестиками, что несколько увеличивает его шансы на победу. Решение этой задачи и предыдущей дает возможность сравнить результаты двух турниров и выяснить, насколько исход поединка зависит от очередности хода, а насколько – от мастерства игроков. Если на уроке есть время, полезно вместе с ребятами поразмышлять над последним вопросом задачи. Игры двух игроков Наступил момент дать более формальное определение иг- рам, которыми мы будем заниматься дальше. Оказывается, все они имеют много общего, у всех таких игр есть правила, которые определяют начальную позицию, ход игры, мешок возможных позиций, заключительную позицию и, наконец, победителя игры (или ничью). На листе определений (с. 6–7) мы сформулировали правила игры в Крестики-нолики, используя новые термины. Пожалуй, наиболее сложным из новых понятий является позиция игры, ведь понятия правила игры, ход, победитель и т. п. ребятам уже знакомы. Понятие позиция игры – очень емкое. Позиция игры – это поле и все ходы, сделанные обоими игроками к данному моменту игры. Каждый ход игрока – это разрешенное правилами игры изменение позиции игры. Правила игры оговаривают все возможные начальные позиции игры, а также все воз- можные заключительные позиции – такие позиции, по достижении которых игра заканчивается. C введением понятия позиция игры у нас также появляется возможность ввести понятие цепочка позиций игры, которое дает ключ к более глубокому, содержательному анализу каждой партии. Кроме того, понятие позиция игры позволит нам существенно расшить круг задач и таким образом подвести детей к выводу общих закономерностей в играх с полной информацией.
Комментарии к задачам 4–8 Части 1
Задача 4 – на понимание нового листа определений.
Решений у этой задачи, конечно, много. Для некоторых детей может показаться непривычным, что им нужно играть одновременно за двоих, сложно будет стремиться к выигрышу и того, и другого. Но этого здесь и не требуется. Для тех, кто быстро решит такую задачу, можно предложить ее усложнение: как может выглядеть цепочка игры, закончившаяся выигрышем Первого, Второго, вничью – подобные задачи появятся в учебнике позднее. Попросите детей ставить вновь появляющийся крестик синим, а нолик – зеленым, как это сделано в начальной части цепочки. Это заставит детей более тщательно переходить к каждой следующей позиции игры и позволит делать меньше ошибок. Кроме того, это позволит детям лучше понять, какой из игроков делает ход в каждой позиции, а значит, поможет им избежать ошибок в дальнейших, более сложных, задачах. На вкладыше мы поместили достаточное количество заготовок полей для всех игр, которые мы рассматриваем. Как и с запасными полями для Робота, с полями для игр ребята могут поступать по своему усмотрению: использовать в задачах как подсобный или запасной материал или играть на этих полях в настоящие игры. Мы хотим научить ребят заканчивать решение любой задачи проверкой, в том числе и задачи на построение цепочки игры. Поэтому в указании мы приводим подсказки – условия, которые должны выполняться для любой правильно составленной цепочки позиций игры в Крестики-нолики. Обратите внимание на то, что- бы все ребята выполнили эту последнюю часть задания. Важно, чтобы уже в этой задаче ребята обратили внимание на то, что по- зиций в цепочке игры всегда на одну больше, чем сделано ходов и подумали, почему. Ответ прост – добавляется начальная позиция – «нулевой ход», но подобные детали ребятам придется иметь в виду в дальнейшем, при решении более сложных задач. Вот один из возможных вариантов цепочки Р:
Задача 5.
Повторение листа определений «Все пути дерева Если у кого-то из ребят возникнут проблемы, то, скорее всего, ученик забыл, что такое путь дерева, либо сбился, выписывая пу- ти. В первом случае можно посоветовать ему обратиться к форзацу учебника, где содержится соответствующая информация, во втором – сопоставить каждый лист с путем, ведущим в него и найти свою ошибку. Как правило, лучше всего с подобными заданиями справляются дети, имеющие определенную систему выписывания путей, например, двигаться по листьям дерева сверху вниз, помечая каждый лист, путь ведущий в который уже выписан. Если вы видите, что кто-то из ребят систематически ошибается в подобных задачах, то, наверняка, у него такой системы нет. В таком случае лучше выработать наиболее удобное для него правило выписывания путей вместе. Очень полезно по окончании решения задачи спросить ребят, как они понимают некоторые слова-пути, содержащиеся в мешке, например, КАДКА, КАЗАН, КАЗАХ. Если все затрудняются с ответом, это хороший повод обратиться к толковому словарю. Кроме повторения алфавитного порядка слов и навыка использования справочной литературы, подобные моменты урока призваны развивать у детей любознательность и увеличивать их словарный запас.
Ответ: КАБАН, КАБИНА, КАБИНЕТ, КАБЛУК, КАДКА, КАДР, КАЗАК, КАЗАН, КАЗАХ, КАЗНА, КАЛАЧ, КАЛИТКА.
Задача 6.
Здесь, в отличие от задачи 4, задан конец игры. Поэтому ребята могут двигаться либо от начала цепочки к концу, либо наоборот. В первом случае необходимо соблюдать правило – ставить только те знаки, которые есть в позиции, предшествующей заключительной (причем крестик, помеченный синим использовать нельзя). Необходимо также следить за соблюдением очередности хода, за тем, чтобы на каждом ходу появлялся толь- ко один значок и затем, чтобы все значки аккуратно переносились с предыдущей позиции на следующую. Если кто-то из ребят решит двигаться от конца цепочки к началу, то он просто будет убирать по одному значку, учитывая очередность хода (конечно не забывая о том, что синий крестик – предпоследний ход игры). В данном случае ответ на вопрос задачи не зависит от того, как достроена цепочка, поэтому на него можно ответить сразу. В этой и последующих подобных задачах мы уже не напоминаем ребятам о том, что необходимые для решения поля можно найти на листе вырезания (оставляем лишь значок – ножницы). Вот один из возможных вариантов цепочки Н:
Задача 7.
Повторение темы «Перед каждой, после каждой». Ребятам, которые совсем не знают, с чего начать можно, как и раньше, порекомендовать поработать с телесными бусинами с листа вырезания. Остальным в случае ошибки достаточно будет указать на невыполнение одного из условий задачи. Возможно, кто-то из ребят забудет о том, что квадратная бусина не может быть последней в цепочке (иначе первое утверждение не будет иметь смысла). С таким учеником придется вспомнить лист определений «Если бусины нет». Итак, в результате решения задачи должна получиться цепочка, в которой 1-ая, 3-ья, 5-ая и 7-ая бусины – квадратные, 2-ая, 4-ая, 6-ая и 8-ая бусины – круглые, а последняя бусина – не квадратная.
Задача 8.
Необязательная. Здесь построение партии должно удовлетворять некоторому условию. Один из подходов здесь состоит в том, чтобы решать задачу с конца (такой подход уже много раз нам помогал в разных ситуациях): посмотреть, какой могла бы быть позиция в конце, а затем идти от этой позиции к начальной. Конечно, в последней позиции нельзя расставлять крестики и нолики как угодно. Какие имеются ограничения? Например, нельзя, чтобы ноликов было больше, чем крестиков, и чтобы их было на два меньше, чем крестиков, или еще меньше. Ясно, что поставленные уже в заданных позициях два крестика и нолик должны сохраниться. Ясно также, что в заключительной позиции не должно быть выигрышной комбинации для одного из игроков – ведь игра должна кончиться вничью. Можно предложить и другой подход к решению такой задачи. Он будет естественным для ребят, которые достаточно много играли в Крестики-нолики вне урока. Идея состоит в том, что если ход делает Первый, то «честно» играть за Первого, а если Второй – то за него. При этом главная задача – помешать выигрышу противника, а уж следующая – собственная победа. Ребята, знакомые с игрой, интуитивно понимают, что ничья получается именно так – когда противники «хорошо мешают друг другу». Отличие нашей задачи от настоящей игры состоит в том, что да- же если ученик случайно пропустит позицию, которая может привести к выигрышу Первого или Второго и не сможет сделать ничью, то он всегда сможет вернуться обратно по цепочке позиций, найти свой ошибочный ход и начать «поправлять» игру с этого места. В настоящей же игре ребята видят свою ошибку только тогда, когда ее уже нельзя поправить – игра закончилась. Необходимо обратить внимание всех ребят, что последним этапом решения является проверка того, нет ли в какой-нибудь позиции выигрышной комбинации для одного из игроков. На самом деле проверять нужно, начиная с шестой позиции, т. к. только в ней впервые появляется третий крестик и, соответственно, впервые может появиться выигрышная тройка крестиков. Итак, при любом подходе ученику нужно сначала спланировать свое решение, нарисовать пробные позиции на черновике (например, на одном из пустых полей на листе вырезания), а затем уже начать вырезать, наклеивать и расставлять крестики и нолики. Как и раньше в подобных задачах, попросите детей, как и в предыдущих задачах об игре в Крестики-нолики, ставить вновь появившийся крестик синим, а нолик – зеленым, как это сделано в начальной части цепочки. Это заставит их более тщательно переходить к каждой следующей позиции игры и позво- лит делать меньше ошибок. Вот один из возможных вариантов цепочки M:
Игра в Ползунок
Эта игра интересна тем, что в ней место числовой интуиции занимает геометрическая. При этом геометрия здесь не обычная, которую учат в школе, а более современная – это, можно сказать, дискретная топология (дискретная – потому, что в ней действие разворачивается в пространстве конечного числа точек, а топология – потому, что для нас несущественно расстояние между этими точками, а существенно только их взаимное расположение – какая с какой является соседней).
Комментарии к задачам 9–16 Части 1
Задача 9.
При решении данной задачи ребятам предстоит освоить правила новый игры – игры в Ползунок. Поэтому, проходя по классу, постарайтесь проконтролировать соблюдение все- ми игроками правил игры, при необходимости возвращайте ребят к листу определений. Возможно, стоит в первых партиях турнира в каждой группе назначить контролера (или двух), которые будут следить за соблюдением правил игры. Другой вариант – сыграть на доске несколько тренировочных партий. Если вам приходилось играть в Ползунок на поле 3×3, то вы, скорее всего, заметили, что Второй выигрывает здесь гораздо чаще, чем Первый. На самом деле Второй в этой игре имеет выигрышную стратегию, то есть, следуя определенным правилам, он может выиграть всегда, как бы ни играл Первый (мы еще будем много говорить о выигрышных стратегиях в дальнейшем, в частности, и в игре в Ползунок на поле 3×3). Если вы хотите, чтобы члены группы были в равном положении, то предложите ребятам перед началом каждой партии кидать жребий, кто будет Первым (с помощью кубиков, спичек, игры «Камень, ножницы, бумага» и проч.). Поскольку в Ползунке ничьих не бывает, турнирную таблицу будет заполнять немного легче, чем для игры в Крестики- нолики, и победителя будет легко определить, даже если у двух игроков наберется одинаковое число очков. Если же число очков будет одинаковым сразу у троих игроков (в группе из 3 человек или у троих из 4), то для определения победителя придется проводить дополнительные партии.
Задача 10.
Здесь от учащихся требуется лишь понимание правил игры в Ползунок. Напомните ребятам, что нужно каждый новый отрезок проводить красным или зеленым карандашом – в зависимости от того, кто делает ход. Как и в аналогичных задачах с игрой в Крестики-нолики, необходимые поля ребята найдут на вкладыше. Очень важно, чтобы решение задачи закончилось проверкой. Указание в конце задачи призвано облегчить ребятам процедуру проверки на первых порах. Главное условие – чтобы последняя позиция в цепочке действительно была заключительной. Для этого на поле должна получиться ломаная, которую уже нельзя продолжить. Также нужно проверить, что при переходе от каждой позиции к следующей добавлялся ровно один отрезок. Наконец, стоит просмотреть всю цепочку, проверяя, соответствует ли очередность хода цвету появившегося отрезка (можно над каждой позицией пометить цифрами I или II кто сделал данный ход) и соответствует ли следующая позиция предыдущей (все отрезки предыдущей позиции должны повториться и на следующей).
Задача 11.
Необязательная. В учебник 4 класса мы включили серию задач, которые традиционно считаются сугубо математическими и используются в работе математических кружков. Начиная курс информатики, мы в числе основных задач ставили развитие интеллектуальной культуры ребят, в том числе логики, мышления, смекалки и проч. Особо мы подчеркивали, что основные логические схемы и способы решения проблемных задач легко переносятся из одной сферы человеческой деятельности в другую. Настало время посмотреть, насколько ребята (по крайней мере сильные ученики) способны применить полученные в курсе знания к задачам, не имеющим прямого отношения к темам листов определений. Все подобные задачи помечены как необязательные и рассчитаны на сильных учащихся, которые быстро справились с основными заданиями. Взявшись решать подобную задачу, ребенок должен некоторое время посидеть над ней самостоятельно – попытаться решить, построить самостоятельный способ рассуждений и т. п. Если все такие попытки оказались тщетными, вы можете помочь наводящим вопросом или обсуждением попытки решения. Если решить не получается – задачу можно оставить (попросить ребенка подумать над ней дома, вернуться к ней позже и т. д.). Такие задачи хорошо подходят, чтобы занять сильных учеников и поддержать их интерес на должном уровне. В комментариях к задачам этого цикла мы обязательно обсудим, какую помощь вы сможете предложить ребятам и какие подсказки сможете использовать. Главная сложность задачи 11 состоит в том, чтобы понять, как меняется количественное соотношение, когда мы берем предметы из одной кучки и перекладываем их в другую (например, один мальчик отдает свои орехи другому). Действительно, при перекладывании мы в одной кучке число предметов уменьшаем (относительно исходного), а в другой – на столько же увеличиваем (относительно исходного). И то, и другое увеличивает разницу между количествами предметов в кучках, поэтому в результате она меняется на число, в 2 раза большее количества перекладываемых предметов. Конечно, мы не рассчитываем, что учащиеся проведут такие рассуждения (да это и не требуется). Если вы видите, что ответ у ученика неправильный, сначала следует добиться от него сознания ошибки. Для этого попросите учащегося проверить результат по условию задачи или проверьте вместе с ним. Можно посоветовать ученику перейти к работе с телесными объектами – взять две равные по числу предметов кучки (можно воспользоваться, например, бусинами с листа вырезания), переложить некоторое число предметов из одной кучки в другую, сравнить результаты. Так следует экспериментировать до тех пор, пока учащийся не осознает процесс, происходящий в задаче.
Ответ: Федя должен отдать Коле 5 орехов.
Задача 12.
Здесь ребятам предстоит построить цепочку позиций игры в Ползунок с заданной заключительной позицией. Как и при решении задачи 6, учащийся может двигаться от начала к концу, следя за тем, чтобы на поле на каждом ходе появлялся только такой отрезок, который есть в заключительной позиции (учитывая и цвет) или от конца к началу, убирая по одному от- резку от одного из концов ломаной. Кроме того, учащийся должен следить за соблюдением очередности хода – чтобы при каждом переходе от одной позиции к другой появлялся отрезок соответствующего цвета. Несмотря на внешнюю однотипность задач 12 и 6, данная задача оказывается существенно сложнее. Это связано со спецификой игры в Ползунок. В отличии от игры в Крестики-нолики, где значки, которые игроки ставят на поле, не должны быть никак связаны между собой, в игре в Ползунок каждый следующий отрезок должен присоединяться к уже нарисованной ломаной. Учитывая, что отрезок должен быть еще и определенного цвета, мы приходим к тому, что в данной задаче в качестве первого хода Первого нельзя брать любой из красных отрезков в заключительной позиции. В противном случае мы сталкиваемся с тем, что цепочку игры в некоторый момент нельзя продолжить и привести к заключительной позиции. Перебирая все возможные первые ходы Первого (красные отрезки в заключительной позиции) и пытаясь строить с каждым из них цепочку игры, мы приходим к выводу, что цепочку V позволяет построить лишь один из них (вертикальный верхний). Далее вплоть до шестой позиции вариантов при выборе следующего хода ни у Второго, ни у Первого нет. Таким образом в данной задаче (в отличии от задачи 6) существуют лишь две подходящие цепочки V (см. ответ). Описанные выше особенности игры в Ползунок объясняют то, что данную задачу проще решать с конца, отбрасывая постепенно отрезки соответствующих цветов, ведь вариантов при выборе отрезка, который можно отбросить, существенно меньше. Здесь мы уже не напоминаем учащемуся в условии о необходимости проверки, но это не значит, что она не нужна. Напри- мер, можно провести парную проверку, попросив ребят поменяться тетрадями. Полезно при этом предварительно спросить ребят, какие ошибки при решении могут быть допущены. Ответ: вот два возможных варианта цепочки V:
Задача 13. Необязательная.
Здесь мы снова (как и в задаче 5) повторяем тему «Все пути дерева», но эта задача имеет несколько дополнительных сложностей. Во-первых, слова-пути включают внутрисловные знаки, следовательно, ребятам необходимо вспомнить, что дефис и апостроф – отдельные символы, требую- щие заключения в отдельные бусины. Во-вторых, дерево Q должно иметь определенное число бусин (23), а общее число знаков в словах мешка гораздо больше, значит при построении дерева, мы обязаны «экономить» бусины. Например, все слова в мешке начинаются либо с буквы К, либо с буквы О, значит в дереве Q мы поставим только две корневые бусины, а не 7 по числу слов в мешке. Теперь рассмотрим слова, начинающиеся с буквы К. Во всех них следующая после буквы К – О, значит в нашем дереве у бусины К будет одна следующая бусина. В словах, начинающихся с О, встречаются две вторые бусины – буква Н и апостроф, значит в дереве у корневой буквы О будет две следующие бусины. Так мы будем стараться уменьшить число бусин в дереве, где это возможно. В конце, конечно, нужно проверить, что в дереве Q действительно 23 бусины.
Ответ: (см. картинку).
Задача 14. Необязательная.
Сложность этой задачи в том, что ребятам необходимо учесть одновременно два условия. С одной стороны, выиграть должен Первый, с другой стороны это должно произойти именно на седьмом ходу, поскольку длина цепочки задана. Хорошо, если ребята уже видят связи между длиной цепочки, числом ходов и выигрышем определенного игрока. Действительно, в цепочке 8 позиций, значит, сделано 7 ходов. Из них – 4 крестика и 3 нолика. Последний ход – конечно, крестик. Как и в некоторых других задачах, здесь можно двигаться как от начала цепочки к концу, так и наоборот. Двигаясь с конца, ребята просто расставляют 4 крестика и 3 нолика в за- ключительной позиции так, чтобы было три крестика в ряд и не было других рядов из трех одинаковых значков (как крестиков, так и ноликов), а затем убирают по одному значку в соответствии с очередностью хода, заботясь, чтобы 3 крестика появились только на последнем ходу. Двигаться от начала здесь несколько сложнее, ведь придется заботиться постоянно, чтобы игра не закончилась раньше (или позже). Сложность подобной ситуации компенсируется лишь тем, что здесь Второй может подыгрывать Первому - поддаваться или просто плохо играть, не замечая своих выгодных ходов. Естественно ребятам, которые хотят во что бы то ни стало построить «честную» партию (в которой оба игрока стремятся выиграть), мешать не надо, но им будет несколько сложней.
Задача 15. Необязательная.
В этой задаче наиболее естественный путь решения – экспериментальный. Надо предложить детям порисовать на черновике (например, на таком же поле с листа вырезания) несколько вариантов игр с заданным началом. Учащиеся, по сути дела, будут пользоваться методом случайного перебора вариантов. В этих попытках иногда игра будет заканчиваться, не дойдя до 11-го хода, иногда одиннадцатый ход будет оказываться не последним – еще останутся возможные ходы. В ходе таких экспериментов у детей возникнет ощущение того, «как все устроено», и требуемый ход игры будет найден. Учителю здесь, как обычно, отводится роль консультанта, проверяющего точность следования правилам игры в Ползунок. Однако вам для того, чтобы быстро проверить решение или подтолкнуть затрудняющегося в решении ученика, помогут некоторые математические (точнее, геометрические) соображения. Понятно, что, если отвлечься от раскрашивания отрезков в красный и зеленый цвета, то задача сводится к тому, чтобы дополнить имеющиеся три звена до ломаной из 11 звеньев, которую нельзя продолжить. Ломаная линия из 11 звеньев проходит через 12 точек. Это значит, что на нашем поле она не пройдет через какие- то 4 точки поля из 16. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы построить ломаную, включающую заданный отрезок из трех звеньев, не проходящую через какие-нибудь 4 точки поля, и такую, что ее нельзя продолжить. Можно сделать это по-разному, например, так:
Такие рассуждения дают нам не только решение, но и подход к более широкому кругу вопросов, возникающих вокруг данной задачи. Например, возможна ли такая партия игры в Ползунок на этом поле (4×4), в которой выигрывает Второй? Да, если мы сможем построить ломаную из четного числа звеньев. Сколько ходов вообще может быть в игре на поле 4×4 – например, может ли быть 20 ходов? Нет, так как точек на поле всего 16 – значит, ломаная может состоять не более чем из 15 звеньев (ходов). Вы можете обсуждать вышеперечисленные вопросы, а можете совсем их не касаться. Однако, приведенные рассуждения могут вам помочь в тот момент, когда у ребенка работа над задачей застопорилась. Если вам хотелось бы не подсказывать ему решение, а лишь навести на мысль о том «как все устроено», то достаточно будет замечаний типа: «Ты захватил в Ползунок слишком много точек поля, поэтому ходов больше, чем требуется. Попробуй оставить в стороне какие-то точки», – или в этом роде, в зависимости от ситуации.
Решений, конечно, в данной задаче достаточно много. Поучительно сравнить решения, полученные разными ребятами и выделить в них общее. Ответ: приводим одну из возможных цепочек игры:
В этой задаче впервые встречается Робот в лабиринте – на поле Робота теперь есть стены. Лабиринт очень полезен для освоения конструкций построения программ, где ис- пользуются условия (в частности, конструкция «ЕСЛИ-ТО-ИНАЧЕ»), с которыми дети встретятся на уроках информатики в средней школе. В ходе написания программы Р от ребят потребуется понимание того, как стенки ограничивают перемещения Робота. Например, Робот сломается, если из начального положения мы заставим его выполнить команду вправо, так как он не может проходить через стены. Если принять во внимание еще и границы поля, то первая команда программы Р – вниз или влево. Аналогичным образом мы должны и дальше учитывать положение стенок и границ поля при написании программы Р. Возможно, самые хитрые дети запишут в качестве программы Р начальный отрезок про
граммы М, это вполне допустимо. Ответ: (см. картинку).
Игра в Камешки хороша тем, что в ней не так трудно провести полный анализ игры и понять, кто когда выигрывает. Эта игра является основой изучения темы «Выигрышные стратегии» в Части 2 учебника. А пока мы просто знакомим детей с формальными правилами игры.
Комментарии к задачам 17–23 Части 1
Задача 17.
Задача на понимание правил игры в Камешки. Посоветуйте ребятам помечать позиции, получающиеся после хода Первого синим цветом, как это сделано на листе определений. При осознанном решении ребята должны отвечать на вопросы, кто из игроков сделал ход из той или иной позиции и кто выиграл в данной партии.
Задача 18.
В процессе решения данной задачи все учащиеся должны освоить правила игры в Камешки. Для начала можно провести 1–2 партии на доске и попросить ребят написать цепочки для проведенных партий. Заполнять таблицу, как и во всех задачах на проведение турниров в малых группах, лучше всего по ходу игры, то есть заносить в нее результаты по окончании каждой партии. В пустых клетках «шапки» таблицы нужно написать имена или фамилии игроков, но не номера, иначе дети будут путать их с Первым и Вторым. Как видите, в условии задачи определена очередность хода игроков, которая позволяет членам каждой пары одинаковое число раз побыть на месте Первого и на месте Второго. На самом деле Первый в этой игре обладает выигрышной стратегией, это ребятам еще предстоит узнать в дальнейшем. Возможно кто-то из сильных учащихся в ходе игр и особенно ответов на вопросы обратит внимание на то, что Первый выигрывает чаще Второго. Такому ученику можно дать задание подумать, почему так получается и как именно должен играть Первый, чтобы выиграть наверняка (как бы ни играл Второй).
Задача 19.
В отличие от задачи 17, здесь нужно написать не просто цепочку игры, а цепочку, удовлетворяющую определенному условию (выигрышу конкретного игрока). Эту задачу можно решать достаточно формально – сначала написать на листочке любую цепочку игры с разрешенными ходами и заданной начальной позицией. Далее нужно определить победителя в этой игре, а чтобы ребятам сделать это было проще, посоветуйте им помечать результаты ходов Первого своим цветом, как это сделано на листе определений. Если кто-то из ребят нарисовал все бусины цепочки одним цветом, то попросите его расставить над каждой бусиной начиная со второй цифры I или II в зависимости от того, кто из игроков привел игру к этой позиции. Итак, мы нарисовали произвольную цепочку игры, например:
Задача 20.
Задача на повторение листа определений «Склеивание цепочки цепочек». Если кто-то из ребят совсем забыл этот
материал, посоветуйте ему обратиться к форзацу учебника. В
данной задаче речь идет о склеивании цепочки цепочек, в которой имеются пустые цепочки. Важно, чтобы все ребята вспомни-
ли, что в такой ситуации пустые цепочки просто исчезают.
Ответ:
По содержанию эта задача наиболее близка к за- даче 15, но в отличие от той является обязательной. Некоторым учащимся, вполне возможно понадобится ваша помощь. Большинство ребят, скорее всего, будут решать методом проб и ошибок – будут строить ломаную Ползунка как-нибудь. Лучше всего сначала делать это на запасных полях с листа вырезания. Соображения, приведенные в задаче 15 о соотношении числа звеньев ломаной (т. е. числа ходов) и точек на поле, через кото- рые прошел Ползунок, позволяют сделать вывод, что в заключительной позиции цепочки W Ползунок должен пройти через все 12 точек поля, а в заключительной позиции F – через 11 точек поля. Хорошо, если сильные ребята постепенно усваивают по- добные закономерности, ну а всем ребятам необходимо понима- ние того, что число сделанных ходов определяет число звеньев ломаной Ползунка. Таким образом, вам, проходя по классу, достаточно будет обратить внимание учащегося на то, что построенная им ломаная не соответствует требуемому числу ходов. Подходящих цепочек, конечно, много. Мы приводим лишь одну цепочку W и одну цепочку F. Ответ:
Задача 22. Необязательная.
Решение данной задачи потребует от детей определенной аккуратности. Тонкость здесь такая (о ней мы говорили раньше и напоминаем сейчас): выражение «следующая бусина после каждой красной бусины – зеленая квадратная» означает, что после каждой красной бусины стоит какая-то бусина, то есть всякая красная бусина не последняя (а значит последняя бусина – не красная). Возможно, кто-то из детей заметит, что «бусины в цепочке повторяются, идут в одном порядке» и т. д. Это действительно так, цепочки наши – периодические. Как это точно сформулировать? Если разговор возникнет, попробуйте придумать, что в точности мы хотим сказать. Одна из точных формулировок состоит в том, что для каждой бусины третья после нее, если она есть, такая же, как и она сама. Если разговор об этом не зайдет, то такое обсуждение, конечно, не обязательно. Ответ:
Задача 23. Необязательная.
Как мы уже обсуждали в пособии для 3 класса, различия между математическими (и информатическими) и лингвистическими задачами достаточно существены. Напомним, что в математических задачах мы все время старались, чтобы все «правила игры» были выписаны явно. Например, чтобы говорить о буквах русского языка, следует их все выписать, чтобы говорить о гласных буквах, их опять-таки надо выписать явно. В лингвистических же задачах часто используются сведения, явно не выписанные, но которые могут быть почерпнуты из других источников или могут представляться очень правдоподобными. Эта разница весьма принципиальна и отличает математику от других наук, обращающихся, как и лингвистика, за информацией к внешнему миру, а не только к правилам математической игры. Как и многие лингвистические задачи, данная задача много- слойна и позволяет провести разнообразную работу в зависимости от уровня детей в классе. Первый уровень, обязательный для всех ребят, которые взялись решать эту задачу – распределить все фразы, ориентируясь на буквы ы и и, то есть выполнить то, что требуется в условии. Из задания следует, что все фразы, где встречается буква и - украинские, а ы - белорусские: бел.: Добры нос фiгу за вярсту чуе.
Купiў бы сяло ды грошай гало. З легендаў i казак былых покаленняў Ты выткана, дзiўвная родная мова. Малы жук, а вялiкi гук. Дарогi, цёмныя дарогi! Хто вас аблiчыць? Хто вас змерыць? Хто вашы звiвы ўсе праверыць? Не пасеяўшы, не пажнеш. укр.: Прийшов, побачив, перемiг. I широкую долину не забуду я. Якби ви вчились так, як треба, То й мудрiсть би була своя. Реве та стогне Днiпр широкий. А ти, всевидящеє око! Не дуже бачиш ти глибоко! По улицi вiтер вiє Та снiг замiтає. Думи мої, думи мої, Лихо менi з вами! Огнi горять, музика грає. Якби з ким сiсти хлiба з’їсти. Про остальные фразы, опираясь на буквы и-ы нельзя сказать, к какому они языку относятся, поэтому в окне рядом с каждой из них пока можно поставить знак вопроса. Однако, если вы чувст- вуете, что ребенок сильный, можно предложить ему продолжение (и усложнение) данной задачи. Обратите внимание такого учащегося на фразу из условия «В украинском и белорусском алфавитах есть и другие буквы, которых нет в русском, но в каждом из этих алфавитов свои (в одном – одни, в другом – другие).» Тогда фразы, которые мы уже отнесли к определенному языку, позво- ляют найти такие буквы – в украинском алфавите это ї и є, а в белорусском - ў. Используя эту новую информацию, мы опреде- ляем: бел.: Што хутарок, то гаварок, што сяльцо, то нараўцо. Добрага здароўя! укр.: Спиває, плаче Ярославна, Як та зозуленька кує. Сонце грiє, вiтер вiє. Таким образом, мы не смогли определить, на каком языке напи- саны лишь три фразы: (бел.): Дома i салома ядома. Можа на двое варожа. (укр.): I чужому научайтесь, Й свого не цурайтесь.
Данная задача позволяет провести интересное знакомство с языком наших соседей. Основываясь на том, что большинство букв в русском, белорусском и украинском языках общие, можно попросить ребят почитать приведенные фразы. Основываясь на схожести слов, можно попробовать перевести их на русский язык или пофантазировать, что они могут означать. Интересно про- следить также, какие аналоги некоторые из приведенных фраз (пословицы и поговорки) имеют в русском языке. Ниже приводим перевод всех фраз на русский язык.
Добры нос фiгу за вярсту чуе. – Хороший нос фигу за версту чует.
Прийшов, побачив, перемiг. – Пришел, увидел, победил.
Купiў бы сяло ды грошай гало. – Купил бы село, да денег нет [букв.: голо].
З легендаў i казак былых покаленняў Ты выткана, дзiўвная родная мова. – Из легенд и сказок былых поколений ты выткана, дивная родная речь.
I широкую долину не забуду я. - И широкую долину не забуду я.
Малы жук, а вялiкi гук. - Мал жук, а шума много [букв.: большой шум].
Дома i салома ядома. – Дома и солома съедобна.
Якби ви вчились так, як треба, То й мудрiсть би була своя. – Если бы вы учились так, как нужно, то и мудрость (у вас) была бы своя.
Дарогi, цёмныя дарогi! Хто вас аблiчыць? Хто вас змерыць? Хто вашы звiвы ўсе праверыць? – Дороги, темные дороги! Кто вас сосчитает? Кто вас измерит? Кто все ваши повороты проверит?
Не пасеяўшы, не пажнеш. – Не посеешь – не пожнешь.
I чужому научайтесь, Й свого не цурайтесь. – И чужому учитесь, и своего не чурайтесь.
Реве та стогне Днiпр широкий. – Ревет и стонет Днепр широкий.
А ти, всевидящеє око! Не дуже бачиш ти глибоко! – А ты, всевидящее око! Не слишком видишь ты глубоко!
По улицi вiтер вiє Та снiг замiтає. – По улице ветер веет, да снег заметает.
Думи мої, думи мої, Лихо менi з вами! – Думы мои думы, тяжело мне с вами!
Огнi горять, музика грає. – Огни горят, играет музыка.
Спиває, плаче Ярославна, Як та зозуленька кує. - Поет и плачет Ярославна, как та кукушечка кукует.
Якби з ким сiсти хлiба з'їсти. – Как бы с кем сесть, хлеба съесть.
Што хутарок, то гаварок, што сяльцо, то нараўцо. - Что хуторок, то говорок, что сельцо, то (собственный) нрав (ср. русск. Что ни город, то норов).
Добрага здароўя! - Доброго здоровья!
Сонце грiє, вiтер вiє. - Солнце греет, ветер веет.
Можа на двое варожа. – «Бабушка надвое сказала» [букв.: «Может» надвое ворожит].
Игры в Города и в Слова
Вы, конечно, обратили внимание на то, что игры в Города и в Слова не совсем подходят под наше определение игр с двумя игроками: во-первых, в эти игры могут играть и больше двух игроков, а, во-вторых, непонятно, как определить заключительную позицию. Действительно, вспомните, как обычно играют в Слова или Города. Очень редко игра заканчивается тем, что кто-то из игроков не может назвать очередного слова. В большинстве случаев игра может продолжаться практически бесконечно, а заканчивается просто потому, что игра наскучила или пора заниматься другими делами. И тогда никто не выясняет, кто же выиграл – игра просто прерывается. С другой стороны, наверняка большинство детей в вашем классе знает правила этих игр и играет в них дома, и жалко было бы это не использовать. Если цепочка игры в Слова (или в Города) уже задана, то последнее слово в ней и будет являться заключительной позицией. К тому же, если цепочка игры уже задана, или задание состоит в том, чтобы просто создать какую-нибудь цепочку игры по правилам, то оказывается неважным, сколько же игроков на самом деле принимало участие в игре. Поэтому мы решили все же дать несколько задач, в которых используются игры в Слова и в Города.
Комментарии к задачам 24–38 Части 1
Задача 24.
Обсудите с детьми, какие трудности у них возникали при решении задачи, проще ли было ее решать, чем просто играть в Слова, или наоборот, сложнее. Полезно спросить ребят, все ли слова, приведенные в цепочке им известны. Например, многие могут не знать, что такое НОКТЮРН или АМФОРА. В этом случае обязательно нужно попросить ребят обратиться к толковому словарю.
Задача 25.
Детям будет не так-то легко придумать цепочку из 14 слов. Стоит с теми, кому это интересно, обсудить, как надо поступать, чтобы цепочка была подлиннее. Возникнут разные мнения: «Города часто кончаются на Д, бывают города, кончающиеся на А, а с такими первыми буквами городов немного». Ну что же, можно начать выписывать все названия городов (и другие топонимы) подряд, кто сколько знает, а затем проанализировать, как из них создать самую длинную цепочку нашей игры. Кроме того, можно использовать эту и подобную ей задачи для общего развития детей – например, как повод для знакомства с географической картой и атласом. Конечно, искать города на карте или в алфавитном указателе атласа проще, чем просто вспоминать. Но можно и усложнить задание – каждый ряд будет искать города в своей части света или на своем материке. Если вы проводите урок или классный час по краеведению, возьмите карту своей области. Ведь игра в Города должна не только развивать память, но и помогать учащимся приобретать новые знания.
Заметки о топонимике
Географические названия иначе называются топонимами («мест имена»), совокупность топонимов – топонимией. По типу географического объекта топонимы разделяются на оронимы (именования рельефа), гидронимы (имена водных объектов), хоронимы (имена тер- риторий), ойконимы (названия населенных пунктов), урбанонимы (названия частей населенных пунктов – кварталов, улиц, отдельных зданий; иногда этот же термин используется вместо слова ойконим) и др. Ойконимы, а тем более урбанонимы появились лишь в неолите, да и то не сразу, а остальные – еще раньше, вместе с человеческим языком, то есть никак не меньше, чем 300 тыс. лет назад. Нам известны топонимы лишь со времени появления письменности, причем некоторые топонимы сохраняются уже на протяжении четырех и более тысячелетий. Возраст многих топонимов определить невозможно (таких, например, как Волга), возраст других вполне понятен, независимо от времени их фиксации в письменных источниках. Так, названия рек Дон, Днепр, Днестр, содержащих элемент дон/дн, который означает «река» в ряде древних иранских языков (и в современном осетинском), восходят к скифам или сарматам (они были иранцами по языку) – то есть имеют возраст порядка двух тысяч лет или больше. Географические объекты получают имена тогда, когда появляются, становятся известны или осознаются как таковые. Поэтому 15 тыс. лет назад ничто и никак не могло называться в Новом Свете, названия океанов в принципе не могли существовать тысячу лет назад, реки Енисей и Амазонка в те времена как-то назывались (причем наверняка в разных местах по-разному), но их общепринятых, «мировых» названий быть не могло. До 1819 г. никто никак не мог называть географические объекты в Антарктике, до 1913 г. не был известен архипелаг Земля Николая II, который в 1918 г. этого названия формально лишился, но нового (Северная Земля) не имел до 1926 г.
Географические названия со временем могут меняться фонетически, переосмысливаться в духе народной этимологии, но часто при этом преемственность остается заметной. Скажем, Царское Село в XVIII веке называлось Сарским (от финского saari, 'остров'), а город Царицын назван по местному тюркскому топониму S a r y y ‰ i n, где первая часть означает 'желтый'. При всей внешней прозрачности зна- чения эти топонимы к царям отношения не имели и оставались один финским, а другой тюркским. Пока Царское село не стало называть- ся Детским Селом, а Царицын Сталинградом. В СССР некоторые административные замены топонимов носили «челночный» характер – случай, кажется, не имеющий в мире преце- дентов, например: Луганск – Ворошиловград (1935) – Луганск (1958) – Ворошиловград (1970) – Луганск (1990); Рыбинск – Щер-баков (1946) – Рыбинск (1957) – Андропов (1984) – Рыбинск (1989). Топонимы можно классифицировать также по понятности, но понятность может быть мнимая. Так, деревня Ленино (сейчас Истринского района Московской области) называлась так еще до рождения В. И. Ульянова, г. Пропойск (с 1945 – Славгород) не имеет отношения к пьянству: он был когда-то Пропошеском и назван по реке. А в Брянске, например, нет ничего загадочного, поскольку вырос он в лесных дебрях и некогда именовался Дьбьрянскъ. И уж конечно, «смешные» иностранные топонимы типа индонезийского города Таракан не имеют ничего общего с их случайными русскими фонетическими аналогиями.
Задача 26.
Данная задача на установление соотношений между одномерными и двумерной таблицей для одного мешка. В третьем классе ребятам уже приходилось встречаться с задачами, где требовалось заполнить для одного мешка и одномерные, и двумерную таблицу. Тогда мы советовали вам обратить внимание ребят на совпадение сумм по столбцам (или по строкам) двумерной таблицы с соответствующими числами одномерной таблицы и использовать полученную закономерность в ходе проверки. Впрочем,тогда без этого можно было обойтись. Здесь же для решения необходимо понимание характера связи чисел в разных таблицах. Например, учащиеся должны понимать, что общее число красных фруктов в двумерной таблице (сумма чисел второй строки) равняется числу в первом столбце первой одномерной таблицы (10). Исходя из этого можно заполнить пустую клетку во второй строке двумерной таблицы. Аналогично можно заполнить пустую клетку в последнем столбце двумерной таблицы, используя число слив содержащееся во второй одномерной таблице. Так мы продолжаем рассуждать до тех пор, пока вся двумерная таблица не будет заполнена. После этого можно будет заполнить пустую клетку в одномерной таблице. Ответ:
Задача 27.
Здесь мы играем за двоих, подыгрывая либо Первому, либо Второму.
Однако, можно попытаться объяснить ребятам и «честное»
решение, в котором мы стараемся никому из игроков не подыгрывать. Проанализируем ситуацию, создавшуюся на поле. Учитывая очередность ходов, можно сделать вывод о более выгодном
положении Второго игрока (его очередь делать ход).
Среди всех возможных его ходов самый выгодный -
поставить нолик в правый верхний угол:
Этим Второй одновременно мешает Первому получить три крестика на диагонали и создает позицию, приводящую к собственной победе вне зависимости от следующего хода Первого. Действительно, в сложившейся позиции Второй может получить три нолика либо на верхней горизонтали, либо на правой вертикали, а Первый при этом следующим ходом может помешать ему получить только одну из этих троек. Итак, если Второй играет «по- настоящему», то он наверняка сделает этот выигрышный ход, и мы достроим цепочку В (ведь именно игра с цепочкой В должна закончится выигрышем Второго!), например, так:
Теперь нам надо все-таки построить цепочку А игры, где выигрывает Первый. Для этого Второму придется «подыграть» Первому, не делать своего выигрышного хода и поставить нолик не в
правую верхнюю клетку. Тогда партия сразу закончится выигрышем Первого, и мы достроим цепочку А, например, так:
Задача 28.
Конечно задача эта совсем простая, но она дает ребятам представление о том, что в некоторых партиях игры в Камешки у игрока просто нет выбора. Иногда это касается только одного игрока, то есть он проигрывает при любых своих ходах. Гораздо реже такая ситуация касается обоих игроков и партия предопределена с самого начала, как в данной задаче. Чтобы все учащиеся заметили это, в задаче приведено последнее задание, в котором мы просим ребят подумать, существует ли хотя бы одна другая цепочка игры по тем же правилам (конечно, такой цепочки не существует).
Задача 29.
Необязательная. Данная задача - первая из новой серии задач на разрезание. Задачи на разрезание органично вписываются в наш курс по нескольким причинам. Во-первых, они перекликаются с задачами про Робота, в которых нам приходится вписывать заданную фигуру из клеток в поле определенной формы. Во-вторых, в ходе решения задач на разрезание мы на более высоком уровне повторяем тему «Одинаковые фигурки». В-третьих, такие задачи позволяют проиллюстрировать методы решения, с которыми дети уже познакомились в ходе изучения нашего курса - метод проб и ошибок и метод перебора.
Большинство ребят, скорее всего, начнут решать методом проб и ошибок, разрезая фигуру на две части как-нибудь. В ходе таких проб у учащихся могут сформироваться соображения, которые позволят избежать лишней работы. Самое простое такое соображение - посчитать число клеток в исходной фигуре и определить, сколько клеток должна содержать каждая из частей (получаем 6 клеток). Таким образом, одно из возможных решений состоит в том, чтобы отрезать от исходной фигуры, различные части по 6 клеток и сравнивать их с оставшейся частью. Другое, менее очевидное соображение состоит в том, что крайняя правая клетка и соседняя с ней слева должны обязательно принадлежать к одной из частей (в противном случае одна из частей будет состоять из одной клетки). Пробуя присоединять к этим двум клеткам еще 4 из числа соседних, можно организовать разумный перебор вариантов и найти правильный ответ (см. рисунок). Указание вырезать с листа вырезания такую же фигуру и разрезать ее на две одинаковые части служит проверкой. Действительно, после того, как учащийся это сделает, он может легко убедиться в правильности своего решения (или наоборот), для этого достаточно наложить одну часть на другую. При правильном решении части должны совпасть. В ходе решения этой задачи наглядно обнаруживается, что симметричные фигуры (симметричные относительно прямой) тоже являются одинаковыми. Этот вид одинаковых фигур был представлен на листе определений во втором классе, но явно мы им с тех пор не пользовались – просто не было необходимости. Действительно, сравнивая две фигурки раньше, мы имели в основном в виду форму и цвет. Ребята оценивали одинаковость фигурок, проглядывая и сопоставляя их, то есть как бы мысленно двигая их по листу, но не переворачивая их. В наших задачах на разрезание понятие одинаковости идентично тому, что принято в геометрии, где фигуры считаются одинаковыми в том случае, если они при наложении сов- падают. При этом в качестве наложения может использоваться не только параллельный перенос (движение фигуры по плоскости), но и поворот, а также симметрия относительно прямой (отражение, которое ребенок может осуществить, вырезав фигуру из листа и перевернув ее лицом вниз).
Задача 30.
Если никто не решит эту задачу быстро, можно заняться увлекательным делом - объединением частичных решений, полученных разными детьми. Можно начать выписывать слова, которые начинаются и кончаются на букву К, на доске, или на пленке проектора, или на компьютерном экране, проектируемом на большой экран. Тогда дети смогут добавлять свои слова к решению, пока всем классом не удастся найти по крайней мере 6 таких слов.
Можно поступить и так. Начав с того учащегося, который нашел меньше всего слов, и выписав его слова первыми, двигаться далее в сторону увеличения количества слов. Если надо, можно оставить задачу на дом. Для удобства мы приводим здесь список подходящих слов из орфографического словаря.
Ответ: вот позиция после выполнения программы Ю (см. картинку).
Задача 33.
Здесь при построении каждой цепочки требуется соблюдение двух условий: Ползунок должен проходить через заданный отрезок и выиграть должен определенный игрок. Первое условие соблюсти достаточно легко - надо просто пристраивать ходы к заданному отрезку. Что касается второго условия, здесь могут помочь некоторые соображения, касающиеся связи между выигрышем определенного игрока и четностью-нечетностью числа звеньев Ползунка. Ясно, что если число звеньев Ползунка четное, то выигрывает Второй, если нечетное - Первый. Кроме того, число звеньев Ползунка связано с числом точек на поле, че- рез которое он прошел: Ползунок из нечетного числа звеньев проходит через четное число точек и наоборот. Таким образом, чтобы выиграл Второй нужно, чтобы Ползунок прошел через все 9 точек поля, а чтобы победу одержал Первый - через 8 или 6 (других вариантов на данном поле не может быть). Если кто-то из ребят будет строить Ползунок наугад и запутается, натолкните его на подобные соображения. Ниже мы приводим два примера цепочки К и один пример Л.
Задача 34. Необязательная.
Скорее всего, дети воспользу- ются методом проб и ошибок или методом перебора. Проще все- го узнать первую команду в первой конструкции повторения, ведь вправо - единственная команда, которую может выполнить Робот из начального положения, не выходя за пределы закра- шенной фигуры. Вторую команду можно выяснить перебором. Действительно, команду вниз Робот выполнить не может (тогда он выйдет за пределы поля), вправо - может, но тогда Робот не повторит команды внутреннего цикла даже дважды. Остаются две возможные команды - влево и вверх, которые надо рассмотреть подробнее. Выбрав команду вверх, мы подбираем число повторений - здесь возможны два варианта - 2 и 3. Сравнивая на каждом этапе результат выполнения конструкции с клетками, закрашенными в задании, дети постепенно находят правильный ответ. Закончить решение задачи, конечно, необходимо проверкой - выполнением написанной программы на соответствующем поле (можно использовать поля с листа вырезания).
Задача 35. Необязательная.
Для решения этой задачи главное – это представить себе процесс распиливания и, по возможности, перевести его в математическую модель. Главная идея здесь в том, что, распилив одно бревно на несколько частей, мы всегда получаем поленьев на одно больше, чем сделали распилов (например, сделав 1 распил, мы получаем 2 полена). Теперь ясно: чем больше мы возьмем бревен, тем меньше распилов нам понадобится, чтобы получить заданное число поленьев. Например, если мы хотим иметь 20 поленьев, то, взяв одно бревно, необхо- димо сделать 19 распилов, а взяв 10 бревен, лишь 10 распилов. (В этой задаче мы не принимаем во внимание, что поленья обыч- но отпиливают определенной длины, например, для печного отопления. Здесь нам важно лишь число получившихся кусков. В этом смысле для нас бревно и полено ничем не отличаются.) По- этому, чтобы сделать 52 распила и получить 72 полена, надо взять 20 бревен. Идея эта хоть и проста, но не все ребята сразу до нее догадаются. Помогите им представить процесс распили- вания. Можно посоветовать им рисовать на листочке бревна и рассекать их линиями, считая число получившихся кусков. Начать надо, конечно, с одного бревна и постепенно увеличивать их число до тех пор, пока ребенок не поймет закономерность. Ответ: Было 20 бревен.
Задача 36.
Здесь ребята продолжают играть в Города. Воз- можно, им стоит напомнить, что в этой игре в качестве хода допустим любой топоним (не обязательно город). Можно не говорить об этом прямо, а просто спросить ребят перед началом решения, какие географические объекты обозначают данные в задаче слова. Эта и подобные задачи являются хорошим поводом, чтобы обратиться к карте, например, найти на ней все встречающиеся в задаче объекты. Может быть, вы посчитаете полезным для ребят найти на карте и топонимы для заполнения окон или посоветуете учащимся обращаться к карте лишь в случае затруднений. Ребятам, которые мало играли в Города, может быть, придется напомнить, что если предыдущее слово заканчивается на Й, то следующее может начинаться на И или Й, а если - на Ь, то следующее слово должно начинаться на предыдущую перед Ь букву.
Задача 37. Необязательная.
Данная задача гораздо сложнее предыдущей подобной задачи 23. Во-первых, названия городов нужно теперь распределить не по двум, а по трем языкам. Во- вторых, необходимо использовать не только условие задачи, но и привлечь информацию, полученную при решении задачи 23, а также знания о русском языке, полученные в начальной школе. Прежде всего необходимо понять, что нам дает фраза из условия о том, что буква о в белорусских словах пишется только под ударением (ведь ударение в данных названиях не указано). Оказывается, из этого следует, что в белорусском языке не бывает слов с несколькими буквами о! Итак, названия с двумя и более буквами о – не белорусские. Из них все кроме одного - Соловьёво содержат i, значит, названия Верхньоднiпровськ, Днiпропетровськ, Нiкополь, Свiтловодськ - украинские, а название Соловьёво - русское, так как содержит ё, которой в украин- ских словах не бывает. Названия Быхаў и Магiлёў - точно не украинские, так как со- держат соответственно буквы ы и ё, которых нет в украинском алфавите. Кроме того, эти названия – не русские, т. к. содержат нерусскую букву ў. Значит, это белорусские названия. Может быть, кто-то из детей, вдумчиво поработавших с задачей 23, сразу вспомнит, что буква ў – белорусская и сразу отнесет эти слова к белорусскому языку. Также белорусским является название Палыковiчы, поскольку оно содержит ы и i одновременно. Названия Рэчыца и Стрэшын - белорусские, поскольку содержат ы, которой нет в украинском алфавите и не могут быть русскими, так как в них нарушен общеизвестный запрет на написание ы после ш и ч. Верхнеднепровский - явно не белорусское слово (из-за и), по составу букв оно может показаться и украинским, но от него разительно отличается по написанию украинское Верхнь - однiпровськ. Значит, это слово русское. Вот как расположены эти населенные пункты по течению Днепра: Россия: Верхнеднепровский, Соловьёво; Белоруссия: Палыковiчы, Магiлёў, Быхаў, Стрэшын, Рэчыца; Украина: Свiтловодськ, Верхньоднiпровськ, Днiпропетровськ, Нiкополь. Ответ: Украинские названия: Верхньоднiпровськ, Днiпропет - ровськ, Нiкополь, Свiтловодськ. Белорусские названия: Быхаў, Магiлёў, Палыковiчы, Рэчыца, Стрэшын. Русские названия: Соловьёво, Верхнеднепровский.
Задача 38. Необязательная.
Наверняка самый первый ответ, который придет в голову ребятам - 12 яиц, но он неверный. Наиболее простой способ показать это учащимся - спросить, сколько яиц снесут 12 куриц за 3 дня (или 3 курицы за 12 дней). Постепенно ребенок начнет понимать, что число яиц увеличивается в 4 раза за счет увеличения числа дней и еще в 4 раза за счет увеличения числа куриц.
Ответ: 48 яиц.
Контрольная работа № 1.
Ответы и решения Задачи контрольной работы мы поместили на вкладыше. Вы можете вынуть эти листы из учебников заранее, с самого начала работы, чтобы не искушать детей решать задачи заранее. Для этого же мы сняли с этих страниц название «Контрольная рабо- та», остались только номера вариантов. При этом первое число в номере варианта - это номер контрольной работы (их всего 4 в этом году), в второе число - номер варианта. Страницы расположены так, что каждый вариант помещен на двух сторонах одного листа. Итак, для проведения контрольной работы № 1 вам понадобятся варианты 1-1 и 1-2.
Цель этой контрольной работы – проверить, насколько дети освоились с правилами игр в Крестики-нолики, Ползунок, Камешки, Слова. Также мы проверяем умение детей работать с новой лексикой, например, такими терминами, как партия, заключительная позиция, цепочка партии и пр.
Необязательная задача 6 – на повторение: использование конструкции повторения в ра- боте с Роботом.
Задача 1. Для каждой части данной задачи подходящих позиций довольно много. Задания следует считать правильно выполненными, если соблюдены следующие условия. Выиграл Первый: на поле должен быть ряд из трех крестиков, не должно быть ряда из трех ноликов, крестиков на поле должно быть на один больше, чем ноликов. Выиграл Второй: на поле должен быть ряд из трех ноликов, не должно быть ряда из трех крестиков, ноликов должно быть ровно столько же, сколько и крестиков. Ничья: все клетки поля должны быть заняты значками, среди которых должно быть ровно 5 крестиков и 4 нолика. При этом на поле не должно быть ряда ни из трех крестиков, ни из трех ноликов. При проверке решения не оценивается, насколько игра с такой заключительной позицией «правдоподобна», то есть, насколько игроки играли честно и не поддавались.
Задача 2. Здесь мы проверяем умение ребят заполнять таб- лицу кругового турнира. Обратите внимание, в обоих вариантах встречается ситуация, когда у двух игроков одинаковое число очков и более высокое место должен занять тот из них, кто побе- дил в партии, которую они играли друг с другом. Ответ: Вариант 1-1:
Задача 3.
Конечно, эта задача имеет несколько решений. Ре- шение следует считать верным при соблюдении следующих условий. На поле построена ломаная из 9 звеньев (проходит через 10 точек), то есть на поле остались две точки, через которые Ползунок не проходит. При этом ни одну из оставшихся точек нельзя соединить ни с одним концом Ползунка разрешенным образом. Кроме того, ломаная должна включать в себя ровно 5 синих отрезков и 4 зеленых.
Задача 4.
Также как и в задачах 1 и 3, правильных ответов здесь довольно много, однако в данной задаче надо нарисовать не заключительную позицию партии, а всю цепочку партии цели- ком. Правильно выполненное задание - цепочка игры из 5 (6 во втором варианте) позиций, первая из которых - 10 камешков, последняя - 0 камешков. При этом две соседние позиции различаются на 1, 2 или 3. Решая задачи из учебника, ребята обычно помечали позиции, появляющиеся в результате ходов Первого и в результате ходов Второго разными цветами. В таком случае вы всегда могли проверить, понимает ли учащийся, кто делает ход в некоторой пози- ции и кто выигрывает в данной партии. Если вы считаете важным проверить это и в контрольной работе, то попросите ребят помечать позиции, сделанные разными игроками разными цветами. Также как и в задаче 1, здесь не оценивается «честность» или разумность данной партии, то есть, насколько соперники умело играют и не поддаются друг другу. Например, следующая цепочка считается верным решением для варианта 1-2, хотя в реальной игре Второй, скорее всего, возьмет последние два камешка (вместо того, чтобы брать один) и выиграет.
10-7-4-2-1-0
Не смотря на вариативность игры в Слова вообще, при использовании только слов из мешка, для построения це- почки длины 6 слов в этой задаче в каждом из вариантов имеется
Комментариев нет:
Отправить комментарий