Уроки 6-7. Уровень вершины дерева

Уроки 6-7. «Уровень вершины дерева»

Понятие уровень вершины дерева не является, строго говоря, содержательным понятием. Это, скорее, технический термин – как, скажем, понятия начало и конец цепочки. Введение понятия уровень дерева поможет ребенку при самостоятельном построении дерева. Также это понятие позволит нам сформулировать интересные, но не слишком трудные для учащихся задания.

Решение задач из учебника

Задача 34. На предыдущем уроке дети лишь однажды (в задаче 28) строили дерево. При этом все вершины были корневые, поэтому вряд ли дети могли столкнуться с проблемой расположения вершин дерева в окне. Дальше ребятам придется строить более сложные деревья, поэтому такая проблема обязательно появится. Лучше столкнуться с ней на примере этой простой по содержанию задачи. Проследите, чтобы все рисовали дерево по уровням. Обратите внимание ребят на то, что пунктирные линии в окне (в рабочей тетради) – это линии, которые разделяют окно на уровни. Бусины нужно рисовать между линиями, а не на них. Именно поэтому горизонтальных полос в окне четыре, как и уровней в условии задачи (а пунктирных линий всего три!). Деревья у ребят могут быть самыми разными, ограничений здесь не много. По условию у дерева должно быть 4 уровня, значит, на четвертом уровне должна располагаться хотя бы одна бусина. Кроме того, дерево по ширине должно помещаться в окно. Ну и конечно, это не должна быть простая цепочка бусин: в дереве должно содержаться хотя бы одно ветвление.

Задача 35. Задача аналогична предыдущей задаче. При дефиците времени ее можно пропустить или задать на дом.

Математическое словоупотребление

Возьмем мешок:

Верно ли утверждение «Все бусины в этом мешке – квадратные»? Вероятно, вы скажете, что верно. Однако многие люди, в том числе и ваши ученики, могут сказать: «Как же так, в утверждении говорится все, а здесь всего одна бусина! Данное утверждение или бессмысленно, или неверно». На это можно возразить, приведя такой пример. Вы просите всех, кто не сделал домашнее задание, поднять руки и обещаете всем, кто его не сделал, поставить двойку (и всем, кто поднял руку, дать возможность эту двойку исправить). Поднял руку один Вася (все остальные домашнее задание сделали). Верно ли, что подняли руку все, кто задание не сделал? – Вроде, да. Если вы поставите бездельнику Васе двойку, верно ли, что все, кто не сделал домашнего задания, получили двойку? Скорее всего, верно. Но ведь Вася один! Этот пример может кого-то убедить.

Дело, однако, не в убедительности примера, а в том, что некоторые слова математики используют не «по здравому смыслу» (хотя и согласуясь с ним), а «по договоренности». Это значит, что они, заранее договорившись о смысле какого-то слова, дальше всюду используют именно его, несмотря на то что у слова могут быть и другие смыслы в обычном языке. Важно при этом, что математики заботятся о том, чтобы такие договоренности были осмысленными и простыми.

Например, математики договорились и о том, как понимать смысл слова существует. Когда они говорят, что в мешке существует, найдется объект с данными свойствами, то это верно, если в мешке объект с этим свойством один или больше, или даже все объекты в мешке обладают этим свойством.

Задача 36. Здесь дети впервые сталкиваются с явным употреблением понятия все в случае, когда объект всего один. Например, третий пункт инструкции гласит: «Раскрась все квадратные бусины четвертого уровня синим», а среди бусин четвертого уровня квадратная бусина всего одна. 

Задача 37. В отличие от задачи 36, где нужно было найти на готовом дереве бусины на разных уровнях, в этой задаче даны мешки бусин первых трех уровней дерева, детям необходимо нарисовать дерево в окне. Здесь, как и во всех подобных задачах, окно в рабочей тетради разделено на уровни. Мы надеемся, что это поможет детям правильно расположить бусины дерева по уровням и нарисовать в окне аккуратное дерево. Учащийся может, например, сразу нарисовать бусины из каждого мешка на соответствующем уровне (конечно, в любом порядке), добавить по желанию бусины на четвертом и пятом уровнях, а потом уже соединить все нарисованные бусины в дерево.

Задача 38. Необязательная. Задача на повторение понятий все, есть/нет. Как и в других задачах со словом все, здесь необходим полный перебор всех месяцев года и проверка для каждого из них обоих условий. Условию задачи удовлетворяют три слова.

Задача 39. В задаче ограничений настолько мало, что кто-то, прочитав условие, возможно будет просто сидеть, не зная с чего начать. На самом деле можно нарисовать первое дерево каким угодно, а затем из его бусин сконструировать второе дерево так, чтобы уровней в нем было больше (или меньше).

Задача 40. Одинаковое общее количество мышей в таблице и в мешке является необходимым, но не достаточным условием правильности решения. Если эти числа не совпадают, то в решении точно допущена ошибка; если же они совпадают, то это не гарантирует правильность заполнения таблицы. Ребенок мог, заполняя одну клетку, сосчитать какую-то мышь дважды, а заполняя другую клетку, пропустить одну мышь.

Таблица будет заполнена верно, если не только общее число мышей, но и суммы по строкам и столбцам будут совпадать с действительным числом мышей в мешке, обладающих именно этим одним признаком. В мешке 6 мышей в красных майках, значит, сумма всех клеток второй строки должна быть равна шести. Если подобное условие не выполняется для какой-то строки или столбца, то так мы узнаем, каких мышек нужно снова пересчитать. Этот метод можно использовать и в случае, если у ребенка сразу не сошлось число мышей в таблице и в мешке. Чтобы не пересчитывать все заново, можно посчитать число мышей в майках каждого цвета, а затем проверить суммы по строкам. В строке, где эти числа не сойдутся, нужно искать ошибку. Если провести такую работу еще и по столбцам, то можно будет назвать клетку таблицы, где число вписано неверно.

Ответ:

Задача 41. Начинать решать задачу можно так же, как и задачу 37: написать сначала все буквы на своих уровнях. Здесь уже нельзя соединять буквы в дереве как угодно: нужно, чтобы были истинны оба утверждения. Из первого утверждения следует, что после каждой гласной на каждом уровне можно сразу поставить стрелочку листа. Рисуем стрелочки, читаем второе утверждение. Если все листья – гласные, то других листьев, кроме уже помеченных на дереве, быть не должно. Остается соединить буквы, учитывая, что все согласные буквы не являются листьями и обязательно должны иметь хотя бы одну следующую букву. Эта задача не требует общего обсуждения. Проходя по классу, вам будет достаточно указать ученику на то, что для какой-либо буквы полученного им дерева одно из утверждений ложно, – дальше он, скорее всего, справится сам.

Обратите внимание, все ли дети справились с ситуацией, связанной с мнимой похожестью утверждений, данных в задаче. Возможно, кто-то спросит, зачем здесь два утверждения, в которых говорится «одно и то же». По опыту учителей математики среднего звена часто для детей и в 7 классе кажутся одинаковыми, например, утверждения «Вертикальные углы равны» и «Равные углы вертикальны». Поэтому, если у кого-то такой вопрос возник, советуем остановиться и на понятных примерах показать, что первое и второе утверждения различаются по содержанию. Советуем привести понятные примеры, например, утверждения «Все мальчики нашего класса – отличные спортсмены» и «Все отличные спортсмены – мальчики нашего класса» означают не одно и то же (первое может быть истинным, а второе явно ложное). Если на примерах из жизни все понятно, то можно вернуться к задаче и попробовать построить дерево.

Ответ: вариантов правильных ответов к этой задаче довольно много. Мы приводим только один из них.

Задача 42. Помимо повторения темы «Словарный порядок», в задаче проводится пропедевтика видов сортировки, в частности упорядочения. На примере этой задачи ребята могут увидеть, что упорядочить одни и те же элементы можно по разным критериям. Одним из таких критериев расстановки слов является словарный порядок, другим – календарный порядок месяцев. Конечно, можно придумать и другие принципы упорядочения. Например, по возрастанию (убыванию) числа букв в названии месяца, а если число букв двух месяцев одинаково – по алфавиту. Можно упорядочивать в обратном словарном порядке и т. д.

Задача 43. Необязательная. Важно обсудить со всеми интересующимися детьми, как они решали задачу. Как обычно, стратегии здесь могут быть разными: систематически перебирать все пары, перебирать пары наугад (метод проб и ошибок). При поиске одинаковых мешков также полезно использовать разные особенности конкретного набора мешков: некоторые объекты есть почти в каждом мешке, другие – только в небольшом числе мешков, третьи – во многих мешках встречаются, а во многих нет. Начав рассматривать ситуацию под этим углом зрения, мы обнаруживаем, что, например, лампочка есть в каждом мешке. Открыв эту закономерность, мы можем «перестать видеть» лампочки в мешках, не сравнивать мешки по наличию в них лампочек и т. д.

Еще одна хорошая идея – пересчитать число объектов в каждом мешке и разбить их на группы по этому числу. Такая идея уже «работала» ранее, и не исключено, что кто-то из детей ее вспомнит или изобретет заново. Однако оказывается, что во всех мешках по четыре предмета.

Еще одна из идей может состоять в том, чтобы перейти от наглядного, но из-за различного взаимного расположения предметов сбивающего с толку представления к более формальному. В частности, перейти от мешка к его таблице. Такую таблицу удобно выписывать сокращенно, просто в виде списка, столбиком (например, рядом с мешком), указывая в алфавитном порядке, какие объекты в мешке есть: (В)илка, (К)арандаш, (ЛА)мпочка, (ЛО)жка, (Н)ож, (Ч)ашка. При этом, если мы уже исключили из рассмотрения электрическую лампочку и ложку, столбики будут иметь высоту 2. Потом надо будет искать одинаковые столбики.

При выполнении этой задачи необходимо дать как можно больше свободы для принятия решений каждому учащемуся. Индивидуальное обсуждение способа работы с задачей полезно только после того, как ребенок уже нашел решение или по крайней мере достаточно много потрудился над задачей и попросил вашей помощи. Эта задача является одной из подготовительных для проекта «Одинаковые мешки». В работе над проектом будет проведено общее обсуждение того, какие существуют способы решения подобных задач.

Задача 44. Необязательная. Эту задачу, как и многие другие задачи, можно решать методом перебора (последовательного или случайного) или уменьшить объем работы с помощью рассуждений или поиска некоторой закономерности. В данном случае нетрудно заметить, что некоторые буквы есть во всех словах (например, А или П), а некоторые – не во всех (например, У или Е). Так, слов с буквой У всего два, поэтому их можно сразу вычеркнуть. Среди оставшихся слов три слова с буквой Е и четыре слова – без нее. В одной из этих групп и находится три искомых слова.

Задача 45. Необязательная. Не все окна здесь заполняются однозначно, да и сами мешки, которые получатся, возможно будут разными.

Однозначно заполняются окна в четырех словах:

... ... К ... НИБУДЬ                 КАК-НИБУДЬ
... ... К ... ... ... ... НИБУДЬ     ОТКУДА-НИБУДЬ
... ... ... Е ... -НИБУДЬ           ЗАЧЕМ-НИБУДЬ
... ... Е-НИБУДЬ                    ГДЕ-НИБУДЬ

Остальные слова делятся на группы в соответствии с количеством букв, идущих перед НИБУДЬ.

Три буквы (КЕМ-, КТО-, ЧЕЙ-, ЧЕМ-, ЧТО-):
К ... ... -НИБУДЬ         КЕМ-/КТО-НИБУДЬ
... Е ... -НИБУДЬ          КЕМ-/ЧЕЙ-/ЧЕМ-НИБУДЬ
Ч ... ... ... НИБУДЬ       ЧЕЙ-/ЧЕМ-/ЧТО-НИБУДЬ

Четыре буквы (КОГО-, КОМУ-, КУДА-, ЧЕГО-, ЧЕМУ-):

... Е ... ... ... НИБУДЬ            ЧЕГО-/ЧЕМУ-НИБУДЬ
ЧЕ ... ... ... НИБУДЬ              ЧЕГО-/ЧЕМУ-НИБУДЬ
... ... М ... -НИБУДЬ              КОМУ-/ЧЕМУ-НИБУДЬ
... О ... ... ... НИБУДЬ            КОГО-/КОМУ-НИБУДЬ

Пять букв (КАКОЙ-, КОГДА-):

К ... ... ... ... ... НИБУДЬ         КАКОЙ-/КОГДА-НИБУДЬ
К ... ... ... ... -НИБУДЬ           КАКОЙ-/КОГДА-НИБУДЬ

Шесть букв (ОТЧЕГО-, ПОЧЕМУ-):

... ... ЧЕ ... ... ... НИБУДЬ      ОТЧЕГО-/ПОЧЕМУ-НИБУДЬ
ОТ ... ... ... ... -НИБУДЬ        ОТЧЕГО-НИБУДЬ

Когда мы все выписали, шестибуквенные слова восстанавливаются однозначно, для двух пятибуквенных есть два варианта. Среди четырехбуквенных слов КОМУ- и КОГО- восстанавливаются однозначно, а для пары ЧЕГО-/ЧЕМУ- есть два варианта. Вариантов заполнения трехбуквенных слов есть довольно много.

Если кто-то запутался совсем, то попросите найти его в мешке слово, определяющееся однозначно, например, КАК-НИБУДЬ или ОТКУДА-НИБУДЬ (первое и второе слова сверху). Глядя на то, как ученик работает, вы легко поймете, в чем причина ошибок. Скорее всего, ребенок забыл, что дефис – отдельный символ и должен занимать при заполнении окон отдельную бусину. Посоветуйте такому ученику сначала заполнить все окна, соответствующие дефисам (перед частицей НИБУДЬ), а затем приступить к дальнейшей работе.

Компьютерный урок «Уровень вершины дерева», 1 часть, задачи 41 – 48

На этом уроке ребята знакомятся с новым компьютерным инструментом – деревом, позволяющим быстро и красиво строить деревья в компьютерных задачах. Вообще деревья (как и цепочки) дети в компьютерных задачах будут строить не только с помощью инструмента «дерево», но еще знакомых ребятам «библиотеки» и «лапки». Как обычно «лапкой» из библиотеки ребята будут брать фигурки или бусины и ставить их на серые точки поля. Все остальное берет на себя инструмент «дерево», с помощью него дети проводят на рисунке все линии. На самом деле этот инструмент позволяет провести два вида линий – отрезки и стрелки. С этими двумя видами работы ребята познакомятся в задачах 41 и 42.

Задача 41. В этой задаче ребята впервые встречаются с инструментом «дерево» и знакомятся с его первой возможностью. Инструмент «дерево» дает возможность соединить линией две вершины дерева или вершину дерева с корнем. Для того чтобы соединить линией две вершины, нужно щелкнуть инструментом «дерево» сначала на одну из них, а затем на другую. После этого между вершинами появится линия. Аналогично линия между корнем и вершиной появится тогда, когда ребенок щелкнет сначала на вершину, а затем на корень. Советуем вам сначала решить задачи этого урока, чтобы изучить работу нового инструмента «дерево». Так вам будет гораздо проще давать советы детям, у которых что-то не получается.

Задача 42.  В этой задаче ребята знакомятся со второй возможностью инструмента «дерево»: он позволяет нарисовать стрелки из листьев, чтобы дерево приняло законченный вид (такой, как в учебнике). Несмотря на простоту задачи, это действие возможно не у всех получится с первого раза, поскольку некоторые дети считают, что для рисования стрелки достаточно одного щелчка. На самом деле для появления стрелки необходимо сделать два щелчка – первый на вершине, из которой надо выпустить стрелку, а второй – на месте будущей стрелки. Таковы технические особенности работы инструмента.

Задачи 43 и 44. В предыдущих задачах ребятам уже приходилось достраивать деревья. В этих задачах дети строят дерево с помощью компьютерных инструментов от начала и до конца. Скорее всего, вам придется консультировать детей по работе инструмента «дерево», поэтому стоит принять во внимание его следующие технические особенности. Во-первых, очень важно, чтобы дети ставили бусины из библиотеки на серые точки поля. Дело в том, что функция проведения соединяющих линий привязана именно к этим точкам невидимой сетки, поэтому если ребенок будет ставить бусины на поле как попало, инструмент «дерево» правильно работать не будет. Во-вторых, для корректной работы инструмента дерево необходимо, чтобы дети строили дерево по уровням, то есть именно так, как описано на листе определений. Это означает, что обязательно должны быть вершины на первом уровне, на втором уровне и так далее. Например, нельзя поставить бусины на второй уровень, а на первый – не ставить. И наконец, в каждой задаче на построение дерева мы сразу рисуем корень, потому что дерево строго привязано к этому корню. Это означает, что бусины первого уровня можно соединить именно с этим объектом и ни с каким другим. Например, если дети захотят нарисовать свой корень (инструментом «карандаш» или «отрезок»), инструмент «дерево» также корректно работать не будет.

Задача 45. В этой задаче предоставьте детям полную свободу, не давайте никаких пояснений и проверьте, насколько качественно усвоены понятия «следующая/предыдущая» для вершин дерева. В результате в каждом из заданий раскрашенными оказываются ровно 5 бусин.

Задача 46. Эта задача аналогична компьютерной задаче 37, только здесь слов с дефисами еще больше.

Ответ:

КОД
КОДОВЫЙ
КОЕ-ГДЕ
КОЕ-КАК
КОЕ-КАКОЙ
КОЕ-КОГДА
КОЕЧКА
КОЕ-ЧТО
КОЖА

Задача 47. Для начала имеет смысл определиться, из каких фигурок состоит данная цепочка. В библиотеке различных фигурок 5, обо всех этих фигурках идет речь в условии. Цепочка имеет длину 7, значит, некоторые фигурки будут в цепочке повторяться. Здесь от детей требуется понимание того, в каких случаях утверждения теряют смысл. Действительно, перец и цветная капуста не могут встречаться в цепочке больше одного раза, иначе первое утверждение не будет иметь смысла. Аналогично, в единственном экземпляре в цепочке должны быть арбуз и редиска, иначе не будут иметь смысла второе и третье утверждения. Это означает, что в данной цепочке ровно 3 баклажана. Теперь расставляем фигурки в цепочке так, чтобы утверждения были истинными.

Задача 48. Необязательная. Эта задача находится на границе информатики, математики и практики. Если ребенок любит математику и тяготеет к арифметическому способу решения, то скорее всего он сначала посчитает общую сумму в кошельках, а затем выяснит, какая сумма должна лежать в каждом кошельке. Это сразу даст ему некоторую определенность. Те дети, которые больше тяготеют к практическим способам решения, сразу начнут экспериментировать, перекладывая монеты в мешках. И тем и другим детям придется сделать так, чтобы мешки стали разными. Стратегии здесь могут быть тоже разные, несложно понять, что они перекликаются с приемами поиска одинаковых мешков в наборе. Можно строить все мешки одновременно, сравнивая каждый с каждым. Можно сразу запланировать группы мешков, внутри которых есть смысл сравнивать мешки более тщательно. Например, можно разделить все мешки по числу пятирублевых монет. Например, можно в один мешок положить три таких монеты, в два – по две, в один – одну, тогда в двух мешках таких монет совсем не будет. Теперь становится понятно, что мешки, которые в своей группе по одному, будут точно отличаться от всех остальных, а мешки, которые в группе по два, нужно достроить так, чтобы они различались между собой.

Компьютерный урок «Уровень вершины дерева», 2 часть, задачи 49 – 56

Задача 49. С технической стороны дети здесь продолжают учиться использовать компьютерные инструменты для создания дерева. С содержательной стороны – учатся планировать и строить дерево по описанию. Здесь оказывается важным понять, что означает «все бусины второго уровня листья». Оказывается, это означает, что в нашем дереве всего 2 уровня бусин, ведь у листьев следующих вершин быть не может. При этом листья могут быть и на первом уровне дерева, так что деревья у ребят могут получиться самые разные. Конечно, при этом дети не должны забыть, что всего в дереве 7 бусин.

Задача 50. Чисто теоретически (исходя из утверждений условия задачи), данное дерево может состоять из любого числа уровней, но технически детям не удастся построить дерево, в котором больше четырех уровней. Поэтому дети будут строить дерево, состоящее из трех или четырех уровней вершин. В этой задаче дерево удобно строить с последнего уровня. Понятно, что на последнем уровне дерева у нас могут располагаться только листья. По условию задачи на каждом уровне дерева находится два листа. Если последний уровень третий, то там должны находиться два листа-банана, если – четвертый, то два любых листа. Ясно, что на предпоследнем уровне может быть три или четыре вершины, поскольку не листов может быть один или два, а листов должно быть ровно два. Оба листа – бананы, а не листы могут быть любыми. Так двигаемся по уровням вплоть до корневых вершин, для каждого уровня проверяя истинность всех трех утверждений.

Задача 51. Второе утверждение означает, что в этом дереве ровно три уровня. Первое утверждение говорит только о форме бусин второго уровня, но не говорит ни об их цвете, ни об их количестве. О бусинах первого уровня вообще не сказано ничего. При этом кроме листьев третьего уровня в задаче могут быть листья первого и второго уровня. Поскольку деревья у ребят могут быть самые разные, то фронтальная проверка здесь не подойдет. Можно проверить решения детей в индивидуальном порядке или устроить парную проверку – поменять детей за компьютерами и попросить каждого ученика проверить истинность обоих утверждений для построенного дерева.

Задача 52. Как и в большинстве наших задач на построение деревьев, решений здесь довольно много. Ясно, что у любого дерева должно быть не меньше двух листьев. В нашей задаче все листья слоны, причем разные слоны. Значит, наше дерево имеет или 2 или 3 листа. Также мы можем точно сказать, что дерево имеет 3 уровня вершин. Ясно, что все фигурки из библиотеки использовать в дереве не удастся. Наибольшее число фигурок в дереве будет 9. Так получится, если в дереве будет 3 листа, расположенных на третьем уровне, и по три вершины на остальных уровнях (больше их быть в нашем дереве просто не может). Наименьшее число фигурок в дереве будет 4. Так получится, если в дереве будет ровно 2 листа – один на первом и один на третьем уровне и 2 не листа (меньше их быть просто не может).

Задача 53. Задача на повторение понятий «листья» и «следующие вершины», а также на повторение уже знакомых детям понятий «есть» и «все». Если ребенок никак не может найти решение в одном из заданий, ему можно посоветовать полный перебор. В первом задании перебор можно вести по бусинам, которые не являются листьями (поскольку у листьев вообще не может быть следующих бусин). Во втором задании перебор нужно вести по синим бусинам. Поскольку в дереве всего 4 синие бусины, среди которых два листа, перебор во втором задании будет совсем небольшим.

Задача 54. Задача на повторение темы «Мешок бусин цепочки». Эта задача скорее языковая и практическая, чем информатическая. Поэтому не стоит относиться к таким задачам чересчур серьезно, ведь формальный способ их решения может занять много времени. Большинство ребят обычно быстро догадываются, о каком слове идет речь. Но если ребенок совсем застрял, вы, чтобы не подсказывать ему решение, можете дать лишь один совет – провести полный перебор слов с таким мешком букв. Ясно, что на этот способ уйдет много времени. Кроме того, чисто теоретически есть вероятность (хотя и небольшая), что нужного слова ребенок просто не знает. В этом случае даже перебор ему не поможет. Поэтому если проблемы возникли у слабого ребенка, то одно-два слова он может просто пропустить. Сильного ребенка стоит попросить хотя бы начать некоторый перебор. В процессе обсуждения вариантов слово наверняка найдется. 

Задача 55. В этой задаче ребята повторяют сразу несколько важных тем, в частности: «Длина цепочки», «Цепочка цепочек», «Алфавитный порядок». Здесь дети будут работать с цепочкой цепочек, элементами которой являются слова. На первый взгляд может показаться, что эти слова стоят в словарном порядке, но в некоторых местах этот порядок все же нарушается, поэтому последнее утверждение будет ложным.

Задача 56. Необязательная. Хотя все объекты в задаче напоминают календарные даты, но не все являются таковыми, то есть имеются в календаре. Для начала ребята выбирают подходящие даты. После этого задача становится стандартной.