Ребусы

пятница, 27 марта 2015 г.

Урок 1. Длина цепочки (3 кл.)

Источник

Урок 1. «Длина цепочки»

Курс 3 класса начинается с новой, но совсем простой темы. К настоящему моменту ребятам хорошо знакомо понятие цепочка и другие понятия, связанные с порядком бусин в цепочке. На листе определений «Длина цепочки» новым для детей является только название понятия: длина цепочки. Содержательно дети уже с ним работали, но описывали ситуацию другими словами, например: «цепочка состоит из 5 бусин». Используя понятие длина цепочки, дети могут сказать то же самое короче и проще, это позволит короче сформулировать условия задач.
Задача 1. Как обычно, первая задача темы несложная – она проверяет понимание материала листа определений (а заодно заставляет детей вспомнить материал из курса математики о различии строгих и нестрогих неравенств).
Ответ: СПРОСОНЬЯ, ПОПРЫГУНЬЯ, ГОВОРУНЬЯ, ХВАСТУНЬЯ.
Задача 2. Здесь, как и в предыдущей задаче, для решения достаточно понимания того, что такое длина цепочки.
Ответ:
Задача 3. Задача на повторение понятий следующий/предыдущий и понятий, относящихся к общему порядку бусин в цепочке. В этой задаче используется и новое понятие – длина цепочки. Подходящих решений в задаче много, в частности потому, что о второй и третьей бусинах цепочки в условии вообще не говорится. Зато к четвертой бусине относится сразу два утверждения – первое и третье.
Задача 4. При решении дети могут использовать разные стратегии. Кто-то сразу пометит в мешках все пары одинаковых букв. Кто-то будет помечать и дописывать буквы одновременно. Кто-то, возможно, вообще не захочет пользоваться пометками. В процессе работы в мешках могут появиться «лишние» буквы, например, ученик допишет в один из мешков букву Ш. Ее необязательно вычеркивать: чтобы поправить дело, достаточно в другой мешок тоже дописать эту букву. Попросите детей проверить свое решение самостоятельно – соединить одинаковые буквы в пары и проверить, не осталось ли «непарных» букв.
Задача 5. Необязательная. Повторяем тему «Таблица для мешка», используя при этом знаки дорожного движения. Задача нетрудная, но достаточно объемная. Эта задача может стать перекидным мостиком к классному часу по правилам дорожного движения. Можно обсудить знаки, используемые в этой задаче, можно поиграть с ребятами в игру «Кто знает, что обозначает этот знак?». Все знаки, которые ребята вспомнят, пометьте прямо в таблице. Остальные знаки можно распределить по рядам и попросить ребят выяснить их назначение у родителей или посмотреть в «Правилах дорожного движения». Ниже приводятся названия и назначение знаков, встречающихся в задаче, и заполненная таблица.
По окончании решения можно организовать взаимную проверку: попросите учащихся, которые решали задачу, сравнить таблицы и, если они не окажутся одинаковыми, выяснить, кто допустил ошибку. После заполнения таблицы ребята легко найдут четверку одинаковых знаков – «Полоса для маршрутных транспортных средств».
Ответ:
Задача 6. Необязательная. Данная задача относится к числу непростых, поскольку в условии довольно много утверждений. Все эти утверждения нужно проанализировать по отдельности, а затем сопоставить между собой. При этом новое понятие (длина цепочки) используется более содержательно, чем в похожей задаче 3. После такой работы с утверждениями выяснится, что требуется построить две цепочки, каждая из которых состоит из пяти одинаковых цифр, причем нижняя цепочка – из пяти пятерок, а верхняя – из пяти «не пятерок».

Компьютерный урок «Длина цепочки», задачи 1 – 8

Задача 1.  В этой задаче дети выбирают из совокупности все цепочки длины 4. В таких задачах необходим полный перебор объектов. При этом можно использовать пометки: если цепочка подошла, пометить ее сразу оранжевой галочкой, если не подошла, можно пометить ее галочкой другого цвета.
Задача 2. Здесь детям необходимо найти длину каждой цепочки. Цепочка F – пустая, поэтому ее длина равна нулю. При нахождении длины цепочки R возможны вычислительные ошибки. В этом случае посоветуйте учащемуся объединять буквы пятерками, а затем десятками, используя при этом пометки.
Задача 3. Здесь нужно выбрать цепочки по описанию, включающему понятие «длина слова (цепочки)». Стратегии решения здесь могут быть разные. Например, можно для каждого слова проверять все утверждения, а можно – использовать утверждения по очереди. При выборе второй стратегии надо сначала для всех слов проверить первое утверждение и отбросить неподходящие слова. Дальше для всех оставшихся слов нужно проверить второе утверждение и так далее. В результате описанию соответствуют ровно 2 слова: СИРЕНЕВЫЙ и МИРОВОЙ.
Задача 4. Эта задача несколько сложнее, чем все предыдущие – здесь ребятам нужно построить цепочку по описанию, содержащему понятие «длина цепочки». Для начала нужно разобраться, из каких фигурок состоит цепочка. Ясно, что в цепочке есть яблоко, груша, арбуз и лимон. Какая же еще фигурка будет в цепочке, учитывая то, что длина цепочки 5? Оказывается, это может быть либо груша, либо лимон (если это яблоко или арбуз, то второе или третье утверждение бессмысленны). Теперь остается только выстроить выбранные фигурки в нужном порядке.
Задача 5. В этой задаче ребята повторяют понятие «одинаковые мешки». Ясно, что все бусины, которые есть хотя бы в одном из мешков, должны быть в каждом мешке. Поэтому в первый мешок нужно положить оранжевую треугольную, синюю квадратную и красную круглую бусины, во второй мешок – желтую квадратную и красную круглую и так далее. После этого у нас оказывается 4 одинаковых мешка, но в каждом из них пока не 8, а лишь 5 бусин. Значит, теперь в каждый из мешков нужно положить одну и ту же (любую!) тройку бусин.
Задача 6. Для начала соберем любой мешок из 18 рублей. Допустим, у нас получился мешок из монет: 10-рублевой, 5-рублевой, 2-рублевой и рублевой. Но в этом мешке всего 4 монеты. Значит, чтобы мешок соответствовал описанию, достаточно одну из монет разменять на две. Можно разменять монету в 10 рублей или в 2 рубля. Так мы получим два искомых мешка. В общем, разменом можно воспользоваться почти всегда, чтобы усовершенствовать свое решение. Поэтому если ученик не знает, с чего начать, посоветуйте ему построить любой мешок из 18 рублей, а потом, в зависимости от того, что у него получилось, попросите произвести нужный размен.
Задача 7. Задача на повторение темы «Мешок бусин цепочки». Из курсов 1 и 2 классов дети должны помнить, что одному мешку бусин могут соответствовать разные цепочки. В случае с цепочками букв (словами) иногда для одного мешка букв можно построить несколько слов русского языка. Именно так дело обстоит в данной задаче. Пары слов с одинаковыми мешками букв: КАСТОРКА и КРАСОТКА, КАДРЫ и ДЫРКА, ЛОСИХА и ОСЛИХА.
Задача 8. Необязательная. Здесь детям придется состыковывать между собой несколько условий, поэтому мы и пометили эту задачу как необязательную. Заметим, что в библиотеке есть 5 петухов, самое большое перо в хвосте которых – желтое, трех из них мы используем для нашей цепочки. Дальше мы понимаем, что первый петух является также и третьим с конца. Поэтому у первого петуха голова синяя, а туловище фиолетовое. Среди оставшихся четырех петухов два с желтой головой и один – с синей, а петухов с желтым или синим туловищем в библиотеке вообще нет. Поэтому в качестве последнего нам подходит лишь петух с зеленой головой, и решение в этой задаче имеется единственное.

Урок 2. Цепочка цепочек (3 класс)

Урок 2. «Цепочка цепочек»

К настоящему моменту дети уже привыкли к цепочкам и легко выделяют их в объектах и явлениях окружающего мира. Цепочки цепочек тем не менее могут показаться им какой-то экзотикой. В то же время вокруг нас можно найти много примеров цепочек цепочек. Например, рассказывая о том, что ребенок делает обычно с утра, он говорит: «Утром встал, сделал зарядку, умылся, оделся, позавтракал, пошел в школу». При этом в каждом событии этой цепочки нетрудно выделить внутреннюю структуру: зарядку разбить на отдельные упражнения; уточнить, в какой последовательности ребенок надевает предметы одежды; маршрут в школу разделить на отдельные прямолинейные участки и повороты. Устная речь воспринимается как последовательность слов (и в некоторых письменностях почти каждое слово отображается своим иероглифом), но во многих языках слова записываются в виде цепочек букв. В арифметических выражениях отдельные числа могут либо считаться бусинами цепочек, либо представляться как последовательности цифр. Использование скобок и подстановка выражения вместо переменной – примеры явлений того же рода.

Списки и языки программирования

Самые первые компьютеры работали с числами. Их использовали для расчета траектории ракеты, которая должна была точно попасть в столицу государства предполагаемого противника, или объема сырья в ядерном реакторе, который должен был произвести взрывчатый материал для боеголовки той ракеты, и т. п. В некоторый момент, однако, все больше задач, решаемых компьютерами, стало относиться не к числам, а к текстам, изображениям, звукам. Сегодня обработка текстов и изображений – главное занятие компьютеров.
Чтобы объяснить компьютеру, что делать с текстом, надо было создать специальные языки программирования (язык, на котором человек дает инструкцию компьютеру). Самым знаменитым языком, предназначенными для обработки текстов и записи программ, моделирующих интеллектуальную деятельность человека, стал язык LISP. При его разработке математики и специалисты по компьютерам воспользовались языком, изобретенным математиками еще в 30-е годы ХХ в. (Вообще очень многое из примененного в компьютерной технологии было открыто в математике еще до появления компьютеров.) Основным информационным объектом этого языка были цепочки цепочек. В языке LISP они называются списками (по-английски lists). Английское слово list вошло и в название знаменитого языка: LISt Processing (в переводе на русский язык – обработка списков). Язык LISP послужил основой для многих систем так называемого искусственного интеллекта, в которых люди пытались поручить машине задачи, например, распознавания изображений (как роботу перемещаться в пространстве, брать деталь и обрабатывать ее) и человеческой речи (как компьютеру понимать устные приказания человека).
Сегодня персональные компьютеры распознают напечатанный текст, понимают устную речь, играют в шахматы на чемпионском уровне. На многих заводах сегодня число рабочих и техников исчисляется всего десятками, а число роботов – тысячами; простейших роботов, например, как роботов, распознающих изображения, школьники собирают из деталей конструктора ЛЕГО ДАКТА. Начинается все это с цепочек цепочек. (Кстати, мешки тоже появились в научных работах по искусственному интеллекту в 60-е годы прошлого века.)

Решение задач из учебника

Задача 7. Дети должны усвоить, что Х – это цепочка, которая, как они привыкли, имеет начало, конец и бусины, идущие в строгом порядке. Отличие от тех цепочек, с которыми они работали раньше, лишь одно: каждая бусина цепочки Х сама является цепочкой бусин. Именно поэтому мы называем новый объект цепочка цепочек. Настолько же, насколько это название естественно для языка формальной логики, оно непривычно для разговорного и литературного языка. В русском языке принято избегать повторения однокоренных слов в одном предложении. Поэтому структуры, похожие на цепочку цепочек, стараются называть словосочетанием из двух разных слов. Например, принято говорить «последовательность месяцев», а не «цепочка цепочек дней». Только в этой непривычности и может корениться причина того, что кому-то тема вначале покажется сложной. Ведь со структурами двойного порядка ребята уже имели дело и на уроках русского языка (предложение – это цепочка цепочек букв), и на уроках математики (арифметический пример – это структура из цепочек цифр).
При ответе на первый вопрос кто-то может попытаться сосчитать общее число цветных бусин, входящих в цепочки цепочки Х. Такому ученику нужно посоветовать снова вернуться к листу определений.
Ответ: длина цепочки Х равна 4, третья бусина цепочки Х – это цепочка длины 3, вторая бусина – цепочка длины 0.
Задача 8. Дети работали с цепочками слов и раньше, но сейчас ребята смогут составить законченное представление о таких объектах, как цепочки цепочек букв. Кроме темы текущего листа определений, в этой задаче повторяются еще и предыдущие темы, в частности, в задаче активно работает понятие длина цепочки. При этом в утверждениях речь идет как о длине самой цепочки слов, так и о длине входящих в нее цепочек. Это может вызвать затруднение. Проще всего начать с выбора из всех названий месяцев тех, длина которых больше 6, – их всего четыре: февраль, сентябрь, октябрь, декабрь. Поскольку в цепочке не должно быть одинаковых слов и длина цепочки должна быть больше 3, именно из этих слов-бусин и будет состоять искомая цепочка. Таким образом, ответы у детей будут различаться только порядком месяцев (этот порядок может быть любым).
Задача 9. Ответ:
Задача 10. Необязательная. Здесь дается пример цепочки цепочек цепочек бусин. Это цепочка, бусинами которой являются цепочки цепочек. Ученики видели такую цепочку на листе определений (это цепочка W), но видеть и понимать – это не одно и то же. Чтобы сильные дети могли разобраться в этом, им предлагается ответить на несколько вопросов о цепочке Е. Цепочка Е состоит из двух цепочек цепочек (а значит, она длины 2). Первая бусина цепочки Е – цепочка, состоящая из двух цепочек (а значит, она тоже длины 2). Вторая бусина цепочки Е – цепочка, состоящая из трех цепочек (а значит, она длины 3).
Задача 11. Для полного решения задачи нужно перебирать все слова и отмечать каждую букву в мешке и в слове. Существует способ сократить процесс, обратив внимание на отдельные характеристики слов. Например, в мешке всего 5 букв, значит, слова, где букв не пять, можно не рассматривать. В мешке две гласные, обе О: выбрасываем еще пару неподходящих слов. В мешке есть буква Р: выбрасываем те слова, где буквы Р нет. Теперь остается проверить только два слова. Мы не предлагаем объяснять эту модель рассуждения учащимся, но вполне разумно поддерживать элементы такой модели в их рассуждениях.
Ответ: ТОПОР и РОПОТ.
Задача 12. Задача напоминает детям такой метод подсчета элементов мешка, при котором сначала заполняется рабочая таблица и только потом заполняется окончательная сводная таблица. Такой метод оправдывает себя только при работе с большим количеством объектов, поэтому мы предлагаем в этой задаче мешок с большим количеством грузинских букв. Надеемся, что решение этой задачи уже не займет у детей слишком много времени.
Грузинские буквы, в отличие от знакомых букв или фигурок, для ребят лишь закорючки, которые очень легко спутать друг с другом. Напомните ребятам принцип работы: помечаем букву из мешка и ставим крестик в рабочей таблице в столбце, соответствующем данной букве, и т. д. Таблица для мешка, приведенная в задании, заполняется лишь после того, как заполнена рабочая таблица.
Ответ:
Задача 13. Необязательная. Здесь работает уже знакомая детям идея порядка: понятия вчера и сегодня для дней недели аналогичны понятиям предыдущий и следующий для бусин в цепочке.
Ответ: пятница, воскресенье, четверг.

Компьютерный урок «Цепочка цепочек», задачи 9 – 16

Задача 9. Подобные задачи позволяют выяснить уровень понимания детьми нового понятия «цепочка цепочек». Самое важное здесь, чтобы дети понимали, что цепочка S состоит из цепочек бусин. Именно они в этом случае являются бусинами, из которых строится цепочка. Как видите, здесь слово «бусина» мы употребляем в новом значении. Не как геометрическая бусина, а как «кирпичик» (элемент) из которого строится более сложная структура. Бусинами цепочки цепочек мы будем называть цепочки, из которых она состоит. В данном случае цепочка состоит из трех бусин-цепочек (поэтому длина цепочки S равна трем). Среди бусин цепочки S есть одна пустая цепочка (длины 0), цепочка длины 2 и цепочка длины 3. Ясно, что одинаковых цепочек в цепочке S нет.
Задача 10. Здесь необходимо достроить цепочку цепочек так, чтобы она соответствовала описанию. Заметим, что второе утверждение будет истинно автоматически, вне зависимости от того, как дети раскрасят цепочку. Иногда мы предлагаем ребятам подобные задачи с избыточными данными (недостаточными или даже противоречивыми) умышленно, ведь в практических информационных задачах такие ситуации встречаются довольно часто. Что касается одинаковых бусин цепочки F, то это могут быть только две цепочки длины 1 (состоящие из одной треугольной бусины). Значит, эти треугольные бусины нужно обязательно раскрасить в разные цвета. В силу третьего утверждения все круглые бусины раскрашиваем синим. Оставшуюся бусину первой цепочки раскрашиваем произвольно.
Задача 11. Здесь дети впервые видят в компьютерной задаче цепочку чисел. При решении этой задачи ребята должны понять, что любое  натуральное число можно рассматривать как цепочку цифр. Только цепочка натуральных чисел – это цепочка цепочек цифр. Именно в этом плане она нас в основном и интересует. Возможно, кто-то из детей заметит, что числа в цепочке стоят в порядке возрастания. Это существенно облегчает работу с данной цепочкой при заполнении данной таблицы.
Задача 12. В этой задаче ребята собирают с помощью «лапки» цепочку слов (цепочек) по описанию. Возможно, кто-то из ребят заметит, что в результате у нас получается цепочка слов, которые стоят в словарном порядке: АЛЫЙ, ЖАРКИЙ, КРУГЛЫЙ, ЮРКИЙ, ЯСНЫЙ.
Задача 13. В этой задаче можно использовать многие из стратегий, описанных во введении. Так некоторые дети будут решать задачу методом «тыка», строя наугад мешки, содержащие 11 рублей, и по ходу проверяя, не равен ли очередной мешок одному из тех, что уже построены. Некоторые дети попытаются организовать перебор. Конечно, полный перебор здесь не потребуется, но некоторые соображения при переборе использовать весьма полезно. Например, проще всего организовать перебор по пятирублевым монетам, ведь ясно, что их в мешке не больше трех. Значит, получаем 3 случая: в мешке 2 пятирублевых монеты, в мешке одна пятирублевая монета, в мешке нет пятирублевых монет. В первом случае такой мешок можно построить лишь один. В каждом из оставшихся случаев решений можно построить несколько. Поэтому большинство ребят вообще не будут использовать перебор, поскольку решений здесь имеется довольно много. Однако тем, кто застрял, дайте совет рассмотреть возможные случаи и организовать некоторый перебор.
Задача 14. Задача на повторение цепочечной лексики и темы «Мешок бусин цепочки». В курсе 2 класса подобные задачи дети решали не раз. Решений здесь довольно много, утверждения слабо связаны между собой, поэтому надеемся, что все ученики справятся с данной задачей без вашей помощи.
Задача 15. В этой задаче ребята повторяют буквы русского и латинского алфавита. Особое внимание здесь стоит обратить на различение следующих пар русских и латинских букв: И и N, Г и L, R и Я. В четвертом мешке есть лишь одна буква, которая не входит в русский алфавит – это буква I, поэтому вторую букву можно вынуть любую.
Задача 16. Необязательная. Задача на повторение темы «Области». По содержанию это задача комбинаторного характера, однако решить ее можно безо всякого перебора, поскольку решений здесь очень много.

Урок 3, Таблица для мешка

Урок 3. «Таблица для мешка (по двум признакам)»

Мешки-векторы

Ребята уже знакомы с мешками и одномерными таблицами для мешков. Надеемся, что работа с данными математическими объектами не вызовет у учащихся особых трудностей. Однако для математики введение этих объектов оказалось достаточно важным шагом. Дело в том, что числа, прежде всего натуральные, очень удобны для измерений, например, времени (скажем, в секундах), или веса (в граммах), или пройденного расстояния (в метрах). Но если мы хотим указать, не сколько мы прошли, а куда пришли, то ситуация становится сложнее. Нам приходится указывать два «измерения» – два числа или два символа. Это похоже на то, как мы указываем положение в городе (например, говорим: «угол Ленина и Розы Люксембург») или положение фигуры на шахматной доске (например, e2). Самый распространенный в математике способ состоит в том, что на поверхность наносится сетка, как на бумаге в клетку. Если взять лист клетчатой бумаги, то с каждой клеткой на нем можно сопоставить два натуральных числа. Одно из этих чисел означает, сколько шагов надо сделать из нашей клетки, чтобы оказаться у левого края листа, а другое – сколько шагов надо сделать, чтобы добраться до нижнего края. Два таких числа называют координатами квадратика, их нельзя поменять местами – это не просто мешок, в котором лежат два числа, но упорядоченная пара (цепочка!), о которой мы договорились, что первое число – всегда расстояние до левого края листа, а второе – расстояние до нижнего края.
Тем не менее координаты можно сложить в мешок. Для этого понадобятся бусины двух типов: бусина одного типа будет обозначать один шаг влево, а бусина другого – один шаг вниз. Какими именно будут бусины – вопрос договоренности. Например, квадратными и круглыми или синими и зелеными. А могут быть карточки, на которых написано «влево» и «вниз». Таким образом, каждой клетке на листе можно сопоставить мешок, в котором будет сколько-то бусин «влево» и сколько-то бусин «вниз».
Построив одномерную таблицу такого мешка, получим пару чисел, аналогичную координатам: ведь в таблице для каждого числа ясно, число каких именно карточек оно обозначает. Получится так называемый вектор. Конечно, вектор может иметь не только два, но и больше параметров (соответствующая цепочка чисел может быть длиннее). И в нашем мешке могут тоже лежать бусины многих типов. В отличие от множества в мешке (мультимножестве) может быть несколько объектов одного типа. Значит, в таблице для мешка будут не только единицы и нули.
С понятия вектор начинается изучение науки, которую называют аналитической геометрией. Данное понятие лежит в фундаменте всей физики и многих разделов математики.
Тема нового урока – двумерные таблицы для мешков. С научной точки зрения двумерные таблицы – это следующая по сложности структура, набор векторов. Конечно, мы не будем наших детей сейчас нагружать этой сложной терминологией. Достаточно того, что они научатся сортировать и классифицировать элементы мешка по двум признакам и аккуратно заполнять таблицу.

Решение задач из учебника

Задача 14. В мешке G довольно много фруктов. Если кто-то из детей запутается, посоветуйте ему как-то помечать посчитанные фигурки. Именно для этого мы поместили в рабочую тетрадь копию мешка. Итак, выберем некоторую клетку в таблице и будем искать в мешке все фрукты соответствующего вида и цвета. При этом будем помечать посчитанные фрукты в мешке – обводить, вычеркивать и т. п. Если по окончании заполнения таблицы не все фигурки окажутся помеченными, можно будет легко найти, какая клетка в таблице заполнена неверно, и исправить ошибку. Возможно, дети в ходе решения будут использовать и другие стратегии. Например, будут считать сначала все желтые фрукты – яблоки, а потом – груши.
Ответ:
Задача 15. Сначала требуется заполнить четыре (одномерные) таблицы, т. е. классифицировать лица поочередно по четырем различным признакам – виду носа, виду рта, виду глаз и виду бровей. Перед сильным ребенком можно поставить вопрос, как проверить правильность заполнения этих четырех таблиц: сумма чисел в каждой таблице должна быть одной и той же. Попросите ученика объяснить, почему так получается. Действительно, по какому бы (одному) признаку мы ни классифицировали лица, в сумме мы должны получить то количество фигурок, которое лежит в мешке.
Ответ (одномерные таблицы):
   
     
   
     
Вторая часть задачи – заполнение двумерных таблиц – технически более сложная. Трудность, во-первых, состоит в том, что дети должны помнить одновременно два признака и полностью отключиться от остальных. Во-вторых, признаки хотя и осмысленные, но однотипные (палочки и закорючки), поэтому легко путаются, а предметы в мешке при этом не различаются ни формой, ни размером, ни цветом. В-третьих, одновременно с поиском лиц ученик должен их еще и считать. Задание специально составлено таким образом, чтобы каждый ребенок почувствовал необходимость выработки собственной системы работы. Если кто-то начал запутываться, стоит помочь ему – обсудить, какую именно систему ребенок использует для работы, или выработать такую систему в совместном обсуждении. В зависимости от того, к чему будет склоняться ученик, мы предлагаем вам один из трех возможных подходов.
Первый подход состоит в том, чтобы заполнять клетки таблицы поочередно, т. е. искать каждый раз все те лица, в которых присутствуют два признака, соответствующие этой клетке. Основные проблемы при такой работе:
  1. Соскальзывание с эталона – при переводе внимания с таблицы на объекты мешка ребенок может забывать, какие именно признаки он ищет в данный момент, и переключаться на другие.
  2. Сложность одновременно искать лица и считать их, даже пользуясь различными пометками.
Для устранения первой проблемы можно использовать шаблон: нарисовать на черновике глаза и нос, которые он ищет, и периодически поглядывать на этот образец. Для устранения второй проблемы можно использовать пометки: сначала найти и пометить все лица, а потом их сосчитать. Необходимо только помнить – пометки должны быть такие, чтобы дети не путали лица, помеченные на текущем и предыдущих этапах. Для этого можно использовать разные цвета пометок, или, наоборот, работать простым карандашом и стирать пометки после каждого этапа работы.
Второй подход состоит в том, чтобы поочередно брать лица из мешка и соотносить их с определенной клеткой в таблице. Например, лицо в левом нижнем углу имеет рот прямой черточкой и нахмуренные брови, значит, оно должно находиться в верхней клетке самого левого столбца второй таблицы. Ставим в этой клетке палочку карандашом и соответствующее лицо в мешке тоже помечаем карандашом (например, обводим). Когда все лица в мешке окажутся помеченными, подсчитаем палочки в каждой клетке таблицы и заменим их на полученные числа.
Третий подход – скопировать страничку учебника, вырезать все фигурки из мешка и рассортировать их на столе по необходимым признакам. Подсчитав, сколько фигурок оказалось в каждой кучке, заполнить таблицу. Этот способ самый простой. Не стоит его предлагать детям, которые хоть как-то справляются без него. Но если вы видите, что ребенок никак не может сосредоточиться (внимание рассеивается), предложите ему этот способ и выдайте копию странички.
Выработав вместе с ребенком систему работы, подходите к нему время от времени и обсуждайте снова, что он делает. После того как все дети определились со стратегией и начали  работать, возможно, ребят начнут посещать идеи о соотношении одномерных и двумерных таблиц и о том, как это можно использовать при решении и проверке. Например, многие ребята заметят, что лиц с одним из видов глаз в мешке нет. Кто-то сделает совершенно справедливый вывод, что комбинации этого вида глаз со всеми формами носа тем более отсутствуют, поэтому во всех строках последнего столбца левой двумерной таблицы можно сразу написать нули. Можно и дальше продолжить обсуждение соотношения одномерных и двумерных таблиц в ходе проверки. Например, спросить ребят: «Где в левой двумерной таблице находятся все лица с округлым носом?» (Ясное дело, в верхней строке.) «А сколько у нас всего лиц с круглым носом?» Эту информацию можно найти в первой одномерной таблице – таких лиц всего 15. Вывод: сумма всех чисел в верхней строке должна быть равна 15. Если у ученика это условие выполняется, он может переходить ко второй строке, если нет, пусть ищет ошибку в клетках верхней строки. После проверки по строкам можно провести проверку по столбцам на основании информации третьей одномерной таблицы. Если все сходится, это гарантирует правильность заполнения двумерной таблицы (конечно, при условии, что одномерные таблицы перед этим были заполнены верно). Таким образом, отпадает необходимость фронтальной проверки. Напоминаем, что самая полезная проверка – это проверка, в ходе которой ребенок самостоятельно нашел свои ошибки.
Ответ (двумерные таблицы):
Задача 16. Наверняка наибольшее число ошибок при решении этой задачи будет связано с заливкой «фона», который на нашей картинке состоит из трех областей, две из которых относительно небольшие, а третья занимает весь оставшийся «фон».
Обсудите с ребятами, где они могли видеть этот знак. Можно дать задание поискать дома упаковки с таким экологическим знаком и принести их на следующий урок. Можно также попросить ребят подумать дома, зачем на товарах рисуют подобный знак, хорошо это или плохо, что товар помечен этим знаком, и т. п.
Ответ: в этой картинке девять областей (каждая из трех стрелок содержит две области и еще три области «фона»).
Задача 17. Необязательная. Структуры, аналогичные цепочкам и мешкам, можно встретить где угодно, и в том числе, конечно, в сказках. Даже житейских знаний ребят окажется достаточно, чтобы выполнить данную задачу. Тем не менее перед решением задачи каждый из детей должен уяснить для себя, что ряд домочадцев, тянущих репку, – это цепочка, первая бусина которой – дедка, а последняя – мышка. В этой задаче дети повторяют все понятия, связанные с порядком бусин в цепочке, в том числе понятия, касающиеся частичного порядка (например, «вторая перед Жучкой»). Обратите внимание, что в утверждениях, использующих понятия раньше/позже, может быть несколько верных решений.
Ответ:
Дедка тянет из земли репку.
Следующая после бабки – внучка.
Предыдущая перед мышкой – кошка.
Последней тянет мышка.
Вторая перед Жучкой – бабка.
Третья после внучки – мышка.
Жучка тянет репку раньше кошки/мышки.
Мышка тянет репку позже кошки/Жучки/внучки/бабки/дедки.
Задача 18. Необязательная. Различные пары слов в мешках не связаны между собой, поэтому, начав с любой пары слов, ученик дойдет до правильного решения. Любое частичное решение может быть продолжено до полного, любая пара сопоставленных слов является частью окончательного решения. При таком произвольном построении не возникает «тупиков». Далеко не все задачи курса обладают таким свойством автономности каждой части решения. Задачи бывают и более запутанными, при сопоставлении слов мы могли бы отождествить два слова, заполнив пробелы, а потом оказалось бы, что это отождествление не удается продолжить до решения всей задачи, потому что другое слово с пробелами «осталось безработным». Задачи с подобными «тупиками» появятся в курсе позднее.
Ответ: слова МОЛОТОК и МОЛОКО.

Компьютерный урок «Таблица для мешка», задачи 17 – 24

Задача 17. Эта задача полностью аналогична задачам на заполнение двумерной таблицы из учебника. Как и в задачах учебника, здесь можно посоветовать запутавшемуся ученику использовать пометки, например, помечать галочками сосчитанные фигурки. Также удобно использовать клетки таблицы слева направо и сверху вниз.
Задача 18. Здесь, как и в предыдущей задаче, клетки таблицы стоит использовать в некотором порядке, например, слева направо и сверху вниз. При этом полезно помечать клетки таблицы, которые уже использованы.
Задача 19. Как видите, эта задача сложней и интересней предыдущей. Здесь необходимо соблюсти сразу 3 условия – показания двух одномерных таблиц и то, что все фигурки должны быть разными. Это накладывает серьезные ограничения на искомый мешок. Для начала замечаем, что каждая фигурка в библиотеке трех цветов. Значит, надо начать с фигурок, которых во второй таблице по три. У нас в библиотеке имеется ровно 3 разные груши и 3 разные сливы, поэтому кладем их в мешок, ведь других вариантов у нас нет. После этого обратимся к первой таблице. Мы уже положили в мешок по две фигурки каждого цвета, значит, осталось положить одну красную, одну зеленую и две желтые. При этом среди них должно быть два яблока и два банана. Сделать это можно по-разному, поэтому решений в этой задаче несколько.
Задача 20. В этой задаче ребята повторяют понятие «цепочка цепочек». В данном случае ребята работают с цепочкой цепочек, длина которой равна 4. Из истинности последнего утверждения вытекает и истинность предыдущего, поскольку все пустые цепочки одинаковы. Таким образом, из данных утверждений ровно 3 истинны, а остальные – ложны.
Задача 21. Задача на повторение лексики, отражающей частичный порядок бусин в цепочке. Заметим, что среди данных слов имеются такие, для которых данное утверждение не имеет смысла – это слова, в которых две буквы А, и слова, в которых нет второй после А буквы. В результате мы находим 6 подходящих слов: БАЛКОН, БАНКЕТ, БАНК, БАНКИР, БАШКИР, БАСКЕТБОЛ.
Задача 22. Задача на повторение календарного порядка. Поскольку здесь все даты принадлежат к разным месяцам, то для решения достаточно перебирать месяцы, начиная с октября (первой даты цепочки) и до сентября (последней даты в цепочке).
Задача 23. В этой задаче речь идет о цепочке дней недели. Эта цепочка не представлена явно, но детям она хорошо известна. Отличие ее от наших цепочек в том, что она не имеет фиксированного начала и конца. Мы, конечно, можем рассмотреть цепочку дней одной недели, но при этом хорошо понимаем, что перед понедельником было воскресенье, а после воскресенья опять будет понедельник. То есть, по сути, структура у нас не линейная, а циклическая. При этом структура направленная, поскольку для дней недели можно четко определить следующий и предыдущий день. Именно поэтому среди утверждений нет ни одного, касающегося общего порядка дней недели, то есть порядка относительно начала или конца цепочки. Все утверждения относятся к частичному порядку – порядку бусин друг относительно друга. При этом ясно, что понятие «завтра» аналогично нашему понятию «следующий», а понятие «вчера» – понятию предыдущий. Что касается понятий «позавчера» и «послезавтра», то они аналогичны понятиям «второй перед» и «второй после».
Задача 24. Необязательная. Как видите, эта задача – типичная практическая информационная задача. Подобные задачи (в отличие от традиционных задач нашего курса) характеризуются тем, что кроме информации, изложенной на листах определений учебника, нужно привлекать информацию из окружающего мира. В нашем курсе обычно используются общеизвестные факты или же те, о которых ребенок может легко догадаться. Так, в данном случае даже далекий от музыки ребенок в состоянии догадаться, что струнными называются инструменты, в которых имеются струны, а клавишными – в которых имеются клавиши. Также дети смогут сообразить, что понятие «духовые» – от слова «дуть», а «ударные» –  от слова «ударять».

Урок 4. Словарный порядок. Дефис и апостроф

Урок 4. «Словарный порядок. Дефис и апостроф»

Словарный порядок

На уроках русского языка ребята уже пользовались словарями. И в нашем курсе детям приходилось работать с цепочками слов, расположенных в словарном порядке. Например, во 2 классе ребята решали большую серию задач на работу с учебным словарем. Ни в одной из этих задач от ребят не требовалось расположить слова в словарном порядке, тем не менее, дети к настоящему моменту приобрели некий опыт, который на этом уроке им предстоит систематизировать и обобщить.
В первой части листа определений содержится общее описание правила словарного  порядка. Первый абзац наверняка будет понятен практически всем. Второй и третий абзацы нужно обсудить подробно. При этом можно опираться на пример словарика справа. Так, во время обсуждения можно спросить детей, почему слово ДОЛ идет раньше слова ДОЛГ, почему слово ДОЛГИЙ идет раньше слова ДОЛГОВЕЧНОСТЬ и т. д. В каждом из случаев ребенок должен пояснить, на какое правило с листа определения он опирается и по какой букве идет упорядочение.
Дальше в задачах цепочку слов, упорядоченных в словарном порядке, мы будем называть словарем.

Дефис и апостроф

Может показаться странным, что мы вводим внутрисловные знаки после того, как дети выполнили проект «Знакомство с русским текстом» (в курсе 2 класса). На самом деле этот лист определений обобщает и систематизирует тот опыт и ту информацию, которые ребенок уже получил. В традиционных школьных курсах вопрос о статусе дефиса и апострофа обходят стороной. Полагаем, что знание и умение использовать эти знаки – необходимый элемент языковой культуры. Мы также считаем необходимым, чтобы ребенок твердо уяснил себе не только чисто графические различия между дефисом и тире, но и различие в их статусе: если тире относится к знакам препинания, то дефис по своим функциям скорее похож на букву, чем на знак препинания. Действительно, если знаки препинания ставят между словами и предложениями, то дефис существует только внутри слова. Поэтому его и называютвнутрисловным знаком.
Графически апостроф – это запятая вверху строки, содержательно не имеющая ничего общего ни с запятой, ни с каким другим знаком препинания. Так же как и дефис, апостроф существует только внутри слова, выполняя функции буквы. Апостроф обычно встречается в иностранных словах (именах собственных). Одно время он использовался в русском языке вместо твердого знака, но об этом говорить детям пока нет необходимости (конечно, если никто из них сам не вспомнит, что у него на доме написано «ПОД’ЕЗД № 2»). Встречаются и «авторские» использования апострофа, например, когда «изоб’ажают ка’тавость»; нас такая функция апострофа не интересует. Есть небольшая вероятность того, что кто-то из детей сталкивался с одинарными ‘кавычками’ (полиграфисты называют такие кавычки «марровскими»). Если такой вопрос возникнет, следует объяснить, что правая марровская кавычка и апостроф – совсем разные знаки и похожи они случайно (кавычки – парный знак и не внутрисловный).
Таким образом, формально говоря, дефис и апостроф можно отнести к символам алфавита, хотя традиционно алфавит считается состоящим только из букв. Именно поэтому на этом листе определений доопределяется (и расширяется) наше понятие слово: в курсе 2 класса слово определялось как любая цепочка букв, и в результате некоторые слова русского языка по нашему определению словами не являлись. Теперь это противоречие снимается – теперь все слова русского языка являются словами и с точки зрения понятий курса информатики. Обратное, конечно же, по-прежнему остается неверным. Поэтому основным понятием в задачах остается понятие слова как произвольной цепочки букв (и дефиса с апострофом). Если в задаче требуется построить слово, являющееся частью языка, используется выражение «слово русского языка».
Во второй части листа определений тоже имеется небольшой словарь. Выбирая из него пары слов, вы можете проверить, все ли дети правильно понимают, как упорядочиваются слова с дефисом и апострофом. На самом деле для каждого слова с дефисом или апострофом его место в цепочке будет таким же, как если бы в слове этих знаков просто не было. Именно это имеется в виду в тексте листа определений, где говорится, что эти знаки при упорядочивании слов не учитываются.

Решение задач из учебника

Задача 19. В этой первой задаче урока почти все слова можно упорядочить, ориентируясь лишь на первую букву. Исключением является пара слов ДАВНО и Д’АРТАНЬЯН: здесь детям потребуется правило упорядочения слов с апострофом, а ориентироваться придется на третью букву. Это значит, что слово ДАВНО будет стоять в цепочке раньше.
Ответ:
ДАВНО
Д’АРТАНЬЯН
КТО-НИБУДЬ
УТЮГ
ЧАШКА
ЧТО-НИБУДЬ
ШИШКА
Задача 20. Эта задача, как и предыдущая, из разряда простых, поскольку на каждую букву начинается не более одного слова. Если ребенок знает алфавит и хотя бы первую часть правила словарного порядка, то решать ее будет несложно. Без знания правила словарного порядка эта задача решается неоднозначно. Так в цепочке имеется 5 слов из пяти букв, которые заканчиваются на «КА». Понять, где должно стоять какое слово, помогает именно правило словарного порядка.
Ответ:

Задача 21. На листе определений указано, что дефис и апостроф не являются знаками препинания – это внутрисловные знаки. В данном случае апострофов в тексте нет, а дефисы нетрудно посчитать (их шесть). Что касается знаков препинания, их в тексте восемь.
Задача 22. Необязательная. Достаточно трудоемкая задача, если решать ее стандартным способом. Действительно, для решения этой задачи проще вспомнить проект «Знакомство с русским текстом» и сосчитать, сколько раз в тексте встречается каждая из букв в строчном и прописном написании, а затем уже отвечать на вопросы. Поэтому желательно иметь наготове несколько чистых рабочих таблиц (тех, что использовались в проекте «Знакомство с русским текстом» курса 2 класса).
Однако найдутся дети, которые будут решать эту задачу методом проб и ошибок, выбирая наугад какую-нибудь букву и считая, сколько раз она встречается в тексте. В основном это будут ребята, которые не любят рутинную работу и всегда готовы что-то придумать, чтобы ее избежать. Используя некоторые закономерности данного текста (и еще немного смекалки), возможно ответить на вопросы, касающиеся строчных и прописных букв, и не заполняя полную таблицу. Действительно, займемся прописными буквами. В данном тексте встречается не так много различных прописных букв – это все буквы, входящие в заголовок (Ш, А, Л, Т, Й, Б, О), и первые буквы строк (С, В, Н), и буквы Ш, Б из имени главного героя. Какая из них может встречаться один раз? Нетрудно заметить, что это не Ш и не Б (они встречаются слишком часто), а также не С, не В и не Н (они встречаются в стихотворении попарно), значит, это какая-то из оставшихся букв заголовка: это О. Следуя той же логике, отыскивается прописная буква, встречающаяся в тексте трижды: это А. Теперь переходим к строчным буквам. Какая из них встречается ровно 3 раза? Кто-то начнет производить перебор, отбрасывая буквы, которых в стихотворении явно больше (например, все строчные буквы слова Шалтай-Болтай). Некоторых букв в стихотворении вообще нет, что облегчает задачу.
Завершением решения задачи может быть совместное выяснение того, кто такой Шалтай-Болтай и почему его нельзя собрать (ведь в действительности это загадка).
Ответ:
Один раз встречается прописная буква О.
Три раза встречается строчная буква и.
Три раза встречается прописная буква А.
Десять раз встречается строчная буква е.
Задача 23. Необязательная. Здесь требуется анализировать не просто отдельные утверждения, а пары – утверждения и их истинностные значения. Эту задачу будет трудно решать, если анализировать утверждения по одному. Проще сначала прочесть все утверждения и попытаться как-то объединить их по смыслу. Можно сказать, что некоторые утверждения «про одно и то же»: первое и последнее – про длину цепочки Е; второе и пятое – про одинаковые бусины; третье, четвертое и шестое – про длину бусин-цепочек.
Проще всего сначала разобраться с длиной. Первое утверждение ложно, значит, длина цепочки Е не 1. Из последнего утверждения следует, что длина цепочки меньше 5. Вывод: длина цепочки может быть 4, 3, 2 или 0.
Второе, третье и пятое утверждения близки: если пятое истинно, то истинно и второе, а третье ложно. Итак, в этой цепочке должны быть две одинаковые пустые бусины-цепочки. Добавляя этот вывод к первому, получаем, что это непустая цепочка (длины 2, 3 или 4), среди бусин которой есть две пустые цепочки.
Теперь понятно, что четвертое утверждение из-за наличия двух пустых цепочек не может быть истинным. Из шестого утверждения узнаем, что среди бусин этой цепочки есть цепочка длины 3.
Конечно, ребята не смогут провести все эти рассуждения так же гладко и в полном объеме. Возможно, они выделят сначала какую-то одну особенность цепочки Е, а дальше начнут действовать методом проб и ошибок, рисуя разные цепочки. Это тоже неплохо, главное, чтобы они всегда сопоставляли получившуюся цепочку с утверждениями из таблицы, а если что-то не сойдется, делали правильные выводы.
Задача 24. Необязательная. В задаче фигурирует английский оригинал текста (английского стишка), русский вариант которого (в переводе С. Я. Маршака) был использован в задаче 21. Мы видим, что рисунок знаков препинания и внутрисловных знаков изменился как количественно, так и качественно. Например, исчезли дефисы и появились апострофы, а количество знаков препинания значительно уменьшилось. Что это – случайность или закономерность, вытекающая из законов грамматики русского и английского языков? Если ребята уже начали изучать английский язык, можно это обсудить.
Вот подстрочный перевод на русский язык:
Хампти Дампти сидел на стене,
Хампти Дампти упал.
Все королевские кони и все королевские ратники
Не могут собрать Хампти Дампти заново.
Как видите, перевод С. Я. Маршака довольно близок к оригиналу, исключение – это объяснение немотивированного в английском оригинале падения персонажа. Если у вас есть желание, можно поговорить с детьми о загадках, о стихах, о переводе стихов и т. п.
Ответ: В тексте всего три знака препинания, ноль дефисов, три апострофа.
Задача 25. Условие задачи говорит о том, что все слова из мешка должны содержаться в словаре, но про то, что в мешке должны лежать все слова из словаря, в задаче не говорится ничего. Неправильное понимание условия может поставить ребенка в тупик. Возможно, как только ученик поймет, что слов в словаре больше, чем в мешке, у него встанет вопрос: «Куда их девать?». Если такой вопрос возникнет у многих, организуйте общее обсуждение этого (естественно, опираясь на самые простые примеры). Например, мама ведет своих дочек в магазин, чтобы купить каждой по одному платью. Продавец говорит: «Для каждой вашей дочери в нашем магазине найдется платье». Что она имеет в виду? Означает ли это, что дочерей должно быть ровно столько, сколько платьев в магазине? Примеры можно придумать и более увлекательные, причем лучше, если несколько примеров приведут и сами дети.
Каждая заготовка в мешке (цепочка букв, знаков и окон) однозначно определяет слово из словаря. При этом важно не забыть, что каждый внутрисловный знак (дефис или апостроф) – это отдельный символ, под который в заготовке отведено свое окно. 
Задача 26. Необязательная. Эта задача – продолжение и усложнение задачи 13. В отличие от задачи 13, здесь появляются понятияпослезавтра –  аналог понятия вторая бусина после и позавчера – аналог понятия вторая бусина перед. В результате приходится рассматривать более длинные цепочки, состоящие из трех (вчера, сегодня, завтра), а иногда из четырех дней (позавчера, вчера, сегодня, завтра). Соответственно появляются более длинные цепочки рассуждений. Например, в последнем утверждении цепочка рассуждений будет выглядеть так: «Завтра будет понедельник, значит, сегодня воскресенье. Сегодня воскресенье, значит, вчера была суббота, а позавчера – пятница».
Ответ: среда, понедельник, вторник, вторник, пятница.

Компьютерный урок «Словарный порядок. Дефис и апостроф», задачи 25 – 32

Задача 25. Задача на закрепление словарного порядка слов. Здесь ребята могут убедиться, что в компьютерном виде такие задачи решать гораздо проще, чем на бумаге – достаточно лишь взять слово «лапкой» и положить его в нужное окно. Кроме того, при возникновении ошибки ее гораздо легче исправить. В данном случае все слова в наборе на разные буквы, поэтому достаточно пользоваться алфавитным порядком первых букв слов.
Задача 26. Вариантов для каждого слова здесь довольно много. Кто-то из детей заметит, что все объекты в цепочке – названия фруктов, и захочет следовать этому условию (как бы играя в нашу игру), усложнив себе задачу.  Это, конечно, совершенно не обязательно, слова могут быть любыми (только русскими словами, а не произвольными цепочками букв).  Вот лишь два варианта возможных цепочек:
АПЕЛЬСИНАПЕЛЬСИН
БАНАНБАБУШКА
ГРУШАГРУША
КИВИИГРА
ЛИМОНЛИМОН
МАНГОЛУНА
МАНДАРИНМАНДАРИН
НЕКТАРИНПЕСНЯ
ЯБЛОКОЯБЛОКО
Задача 27. Здесь, в отличие от компьютерной задачи 25, все слова начинаются на одну и ту же букву. Поэтому приходится сравнивать не только первые, но и вторые, третьи буквы слов, а иногда и следующие за ними. Кроме того, в этой задаче ребятам понадобится правило о расстановке слов в том случае, если одно из них является частью другого и если одно из слов содержит дефис.
Задача 28. Основная сложность этой задачи в специфике объектов в мешке – в мешке должны лежать правильные многоугольники и звезды. Поэтому дети должны внимательно сравнивать форму фигурки в шапке таблицы и в библиотеке, чтобы не перепутать многоугольники (или звезды). При этом многим детям придется считать число сторон многоугольников или число лучей у звезд.
Задача 29. Как видите, компьютерные задачи на расстановку слов в словарном порядке все больше усложняются. Здесь уже все слова имеют одинаковую начальную часть из четырех букв (ПУСТ). Поэтому сравнение букв слов необходимо начинать с пятой буквы слов.
Задача 30. Решений в этой задаче несколько, но положение некоторых фигурок все же определяется однозначно. Так второе условие (шестая фигурка после пиджака – желтая футболка) может быть выполнено только в том случае, если пиджак – первая фигурка в цепочке, а желтая футболка – последняя. На оставшихся местах однозначно устанавливаются жилет и куртка. Все остальные фигурки могут стоять в любом порядке.
Задача 31. Как видите, областей в этой картинке очень много, но это компенсируется с помощью автоматической заливки. Поэтому данную задачу может решить практически любой ученик, здесь главное – аккуратность и четкое следование алгоритму.
Задача 32. Необязательная. Задача на повторение сравнения фигурок наложением.

Урок 5. Дерево. Следующие вершины, листья. Предыдущие вершины

Урок 5. «Дерево. Следующие вершины, листья. Предыдущие вершины»

Начиная разговор о цепочках, мы упоминали о последовательности событий. Однако нам не всегда интересна простая линейная последовательность событий. Приведем несколько примеров:
– перед нами стоит возможность выбора и приходится рассматривать несколько вариантов дальнейшего хода событий: «Направо пойдешь – коня потеряешь, налево пойдешь – буйну голову сложишь, прямо пойдешь – на красавице-царевне женишься»;
– мы выбираем один из возможных объектов, но хотим потом изменить свое решение и выбрать другой;
– мы выделяем в задаче подзадачи, раздаем их участникам проекта, а потом собираем результаты для поиска одного решения.
Во всех этих случаях одним выбором дело не заканчивается – ситуация выбора, ветвления может повторяться. Например, игроки в процессе игры делают выбор много раз – почти на каждом своем ходе. При попытке изобразить эту ситуацию на бумаге возникают графические схемы, называемые деревьями.
В нашем курсе рассматриваются не все деревья, которые используются в современной математике и информатике, а только те, которые больше всего приближены к цепочкам. В нашем курсе деревья обладают следующими фиксированными свойствами:
– в каждой вершине дерева обязательно находится некоторый объект – буква, цифра, бусина, фигурка (вообще бывают и такие деревья, не все вершины которых помечены, т. е. не в каждой вершине стоит какой-то объект);
– вершины, следующие после корня дерева, называются корневыми вершинами, корневых вершин в дереве может быть несколько (в информатике обычно используются только деревья с единственной корневой вершиной, собственно эта единственная корневая вершина является корнем дерева);
– деревья направлены, они «растут» в одну сторону: у каждой вершины, если она не является листом, может быть несколько следующих вершин и ровно одна предыдущая, если вершина не корневая; и ни одной предыдущей у корневой вершины (такие деревья называются в информатике направленными).

Решение задач из учебника

Задача 27. Попросите детей проверить свое решение: в окне должны быть все бусины-листья дерева Ч, причем только они. Чтобы не запутаться, можно сразу помечать на дереве Ч каждый нарисованный в мешке лист.
Задача 28. Если вы хотите быстро проверить правильность выполнения задания, попросите каждого определить истинность следующего утверждения для своего дерева: «Ни у одной вершины дерева нет следующих вершин». При правильном построении дерева данное утверждение должно быть истинным. Если кто-то из детей построил дерево неверно, попросите его вернуться к листу определений.
Задача 29. В задаче работают практически все понятия, относящиеся к теме «Деревья», особенно активно – понятия следующая вершина и предыдущая вершина. Несмотря на то что эта терминология знакома учащимся по работе с цепочками, в применении к деревьям появятся дополнительные трудности. В цепочке каждая бусина имеет не более одной предыдущей и не более одной следующей. Поэтому мы употребляли в единственном числе словосочетание «следующая бусина» аналогично словосочетаниям «следующий день», «следующий урок». В дереве каждая вершина может иметь несколько следующих вершин, поэтому мы употребляем множественное число: «следующие вершины». В русском языке словосочетание типа «следующие дни» имеет несколько другое значение: обычно имеется в виду и следующий день, и второй, и третий, и еще несколько следующих за ним дней. Мы же на листе определений договорились понимать словосочетание «следующие вершины» только как «вершины, следующие непосредственно после указанной». Такое различие значений может поначалу стать источником ошибок. Например, кто-то из ребят может ошибочно посчитать утверждение G (У бегемота четыре следующие фигуры – волк, гусь, заяц, индюк) истинным. Необходимо попросить такого ученика вернуться к примерам на листе определений и разобраться, какие вершины дерева мы договорились называть следующими после данной.
Ответ: ложные утверждения для дерева У:
– утверждение В (предыдущая фигурка перед дельфином – белка),
– утверждение С (у жирафа три следующие фигурки – лев, лось и курица),
– утверждение Н (фигурка верблюда в дереве есть),
– утверждение G (у бегемота две следующие фигурки – волк и гусь),
– утверждение К (предыдущая фигурка перед курицей – жираф).
Остальные утверждения истинны.
Задача 30. В этой задаче проверяется, насколько хорошо ученики усвоили понятие дерево и основные свойства деревьев. Желательно эту задачу обсудить всем классом. Попросите детей сформулировать обоснования, почему каждый объект является или не является деревом, например: F не является деревом, поскольку у синей квадратной бусины две предыдущих. Это же условие нарушено и в схемах J и V. Оставшиеся две схемы являются деревьями.
Задача 31. Задачи на расстановку слов в словарном порядке постепенно усложняются. В этой задаче упорядочение идет по второй, а в некоторых парах и по третьей букве. Кроме того, детям здесь понадобится правило упорядочения для случая, когда одно слово является частью другого. Как обычно, лучше сначала записывать слова в цепочку карандашом и только после проверки обвести их ручкой. Кроме того, чтобы не пропускать слова и не писать их дважды, лучше помечать каждое слово из мешка, которое записано в цепочку.
Ответ:  
КАША
КИЛЬКА
КОМОД
КОТИК
КРЕСТ
КРУЖКА
КТО
КТО-ТО
КУСТ
Задача 32. Необязательная. Задачи на поиск одинаковых мешков дети решали уже не раз. При этом они использовали разные стратегии: это и хаотичное сравнение пар мешков, и систематический перебор (и сравнение) таких пар. Многие ребята к настоящему моменту умеют разбивать мешки на группы по некоторому признаку. Здесь в качестве такого признака может быть наличие или отсутствие некоторой птицы, например попугая.
Задача 33. Задача готовит ребят к проекту «Одинаковые мешки». В комментарии к предыдущей задаче мы напомнили о знакомых детям разных стратегиях поиска одинаковых мешков. Здесь ребята встречаются с еще одной стратегией: заполнить таблицу для каждого мешка. В сводной таблице каждый мешок будет представлен отдельной строкой. Остается сравнить эти строки между собой и найти две одинаковые. Ясно, что упорядоченные строки чисел сравнить легче, чем беспорядочные наборы предметов.
Заполнять таблицу можно как по строкам, так и по столбцам. По строкам для каждого мешка указывается количество птиц каждого вида (если каких-то птиц в мешке нет, в соответствующей клетке записываем 0). По столбцам выбираются по очереди не мешки, а птицы, и отмечается их число в каждом мешке. Когда вся таблица оказывается заполненной, дети переходят ко второй части задания. 

Компьютерный урок «Дерево. Следующие вершины, листья. Предыдущие вершины», задачи 33 – 40

Задача 33. Задача на закрепление понятий «лист» и «корневая вершина». Если кто-то из детей допускает ошибки, достаточно попросить его еще раз обратиться к листу определений.
Задача 34. Здесь дети снова закрепляют понятие «лист» в ходе построения мешка всех листьев дерева. Хотя на листе определений явно не вводится понятие «мешок всех листьев дерева», но для детей оно должно быть понятно, исходя из понятий «лист» и «мешок». Как видите, листьев в дереве довольно много, и дети могут потерять какие-то из них. Чтобы этого не произошло (и в качестве проверки), можно использовать пометки. Например, можно ставить галочку около листа дерева П, как только такая же бусина оказалась в мешке, или соединять одинаковые листья в дереве и в мешке попарно.
Задача 35. Здесь дети встречаются с утверждениями, не имеющими смысла для данного дерева. Причем здесь встречаются и такие случаи, когда нужного элемента нет, и такие случаи, когда нужных элементов несколько. Так, чтобы первое утверждение имело смысл, необходимо, чтобы в дереве была ровно одна буква А. Аналогично второе утверждение потеряет смысл для всех деревьев, где не одна буква  М (то есть букв М нет или их больше одной). Таким образом, для верхнего левого дерева второе утверждение не имеет смысла, поскольку букв М в нем две, а для нижнего левого – поскольку букв М там вообще нет. В результате подходящих нам деревьев оказывается ровно два. Желательно в этой задаче организовать развернутую проверку. Для этого стоит обсудить с детьми каждое из деревьев – определить истинность каждого из утверждений и ответить на вопрос, подходит оно нам или нет.
Задача 36. Здесь дети закрепляют понятия «следующие вершины», «предыдущая вершина» для дерева. Главная сложность этой задачи в том, чтобы не пропустить одну из вершин дерева, то есть найти все объекты, соответствующие условию. Тем ребятам, которые все же пропустили вершины, нужно посоветовать полный перебор всех вершин дерева (для каждого из условий задачи). При этом необходимо выбрать некоторую систему перебора, например, двигаться по вершинам дерева слева направо и сверху вниз.
Задача 37. В этой задаче ребята повторяют правила расстановки слов в словарном порядке. В частности, здесь ребятам будет необходимо вспомнить правило, когда одно слово является частью другого, и правило расстановки слов с дефисами.
Задача 38. Дети в процессе решения задачи должны раскрасить все бусины дерева. При этом в условии ничего не сказано о том, каким цветом должны быть раскрашены квадратные и треугольные бусины, которые не являются листьями. В частности, все эти бусины могут быть раскрашены в красный или желтый цвет, что не противоречит условию задачи.
Задача 39. Главное в этой задаче – внимательно прочитать текст и понять, что означает каждое из условий. Данная задача имеет две части. Первая – задача на построение таблицы для мешка по описанию. Вторая – построение мешка по его двумерной таблице. Первая часть задачи потребует от детей анализа каждого из условий описания. Так, первое условие означает, что в мешке (и в таблице) может быть 10, 11 или 12 бусин. Второе условие означает, что в строчке «круглые бусины» во всех клетках кроме пересечения со столбцом «зеленые» должны стоять нули. Третье условие означает, что в столбце «голубые» во всех клетках кроме одной (на пересечении со строчкой «квадратные бусины») должны стоять нули. Остальные клетки таблицы можно заполнять произвольно, учитывая лишь общее число бусин в мешке. Поэтому решений в этой задаче существует достаточно много.
Задача 40. Необязательная. Как видите, здесь есть два вида разных мышей – смотрящих влево и смотрящих прямо. Мышки из этих групп в любом случае будут разные, как бы мы не раскрашивали их одежду. Поэтому рассмотрим группу одинаковых мышек, например, смотрящих налево. Их будет четыре. Какие есть варианты раскраски их одежды? Либо юбка и кофта будут одинакового цвета, либо – разного. В первом случае они могут быть либо обе желтые, либо обе красные. Во втором – красной может быть юбка, а кофта желтой или наоборот. Получаем всего 4 варианта разной раскраски, что как раз совпадает с нашим числом мышей. Аналогично мы раскрасим и мышей, которые смотрят прямо.