2. Решение топологических задач. Подготовка учащихся к изучению объемных тел. Пентамино.

 Задача с линиями

Сможете ли вы соединить точки для того, чтобы решить эту задачу?

Нарисуйте непрерывную линию, состоящую не более чем из четырех прямых отрезков, которая будет проходить через все девять точек.

 

Решение: 

Весёлая топология

 Представьте себе две поверхности, склеенные из бумажных полосок. Первая – обычное кольцо или, правильнее, цилиндр. А другая – лист Мёбиуса (один из концов полоски предварительно повернут на 180 градусов).

а) Бумажная полоска; b) Склеенный из полоски цилиндр; с) Склеенный из полоски лист Мёбиуса

Фокус 1: Посадим на цилиндр и лист Мёбиуса по божьей коровке. Если коровка побежит по внешней стороне цилиндра, то через какое-то время вернется в исходную точку. А что произойдет с божьей коровкой, бегущей по листу Мёбиуса? Она, конечно, тоже вернется в начальную точку. Но вот удивительный факт. Бежала она, бежала по «внешней» стороне и вдруг, незаметно, на «внутреннюю» перескочила. Маршрут в результате получился в два раза длиннее, чем на цилиндре. Как же так? А дело в том, что у листа Мёбиуса только одна сторона – и внешняя, и внутренняя одновременно.

Дети: «Так не бывает!». Я: «А вы проверьте сами! :)».

Фокус 2: Что получится, если цилиндр разрезать по средней линии? – 2 кольца. Вопрос несложный. А что получится, если разрезать лист Мёбиуса? 2 листа Мёбиуса? Хм… Проверим! А вот и нет! Осталась та же склеенная полоска, но уже перекрученная два раза.

Дети: «Вот чудеса!» Я: «Ага!».

Лист Мёбиуса, разрезанный по средней линии

Фокус 3: А что получится, если это странное кольцо разрезать еще раз посередине? Кольцо станет еще длиннее? Два кольца? Интересно-интересно. Проверим! И правда получается два кольца. Но не отдельных, а сцепленных друг с другом.

Дети: «Да это же заячьи уши. Нет, крылья бабочки. Нет, восьмерка!… А можно мы тоже такое сделаем?».

Лист Мёбиуса, дважды разрезанный по средней линии

Резюме: В течение 20 минут мы изучали свойства поверхностей – занимались не чем-нибудь, а настоящей топологией. Звучит страшно серьезно. А получилось весело и интересно!

Пентамино